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Représentation de lieu géométrique

Posté par makawel77 (invité) 01-10-05 à 15:06

Bojour!
J'ai un petit devoir, et la première question est celle-ci :

Quelles conditions géométriques doivent vérifier les images M1 et M2 des nombres complexes z1 et z2 pour que z1/z2 soit réel et z1/z2 soit imaginaire pur?

Merci d'avance pour votre aide qui me permeterai d'avancé sur le devoir.

Posté par
lyonnaisre : Représentation de lieu géométrique 01-10-05 à 15:28

salut makawel77 :

Alors pour z1/z2 réel

Notons M1 le point d'affixe z1
          M2 le point d'affixe z2

Il faut alors par définition, que :

\blue \vec{OM_1} \rm soit colineaire a \red \vec{OM_2}

Et pour z1/z2 réel

Notons z1 = a+ib    z2 = x+iy

\frac{z_2}{z_1}=\frac{x+iy}{a+ib}=\frac{(x+iy).(a-ib)}{a^2+b^2}=\frac{ax+by+i.(ay-xb)}{a^2+b^2}

Donc si : \frac{z_2}{z_1}  est un imaginaire pur, alors :

Re(\frac{z_2}{z_1}) = 0  d'où  \frac{ax+by}{a^2+b^2}=0

soit encore : ax+by = 0   <=>  \vec{OM_1}.\vec{OM_2}=0

\blue \vec{OM_1} \rm orthogonal a \red \vec{OM_2}

A+ sur l'
romain

Posté par
lyonnaisre : Représentation de lieu géométrique 01-10-05 à 15:51

oups, erreur de frappe ( plus précisement de copié collé ) , lire :

Et pour z1/z2 imagianire pur

Notons z1 = a+ib    z2 = x+iy ...

D'ailleurs pour prouver le a°) :

\frac{z_2}{z_1}=\frac{x+iy}{a+ib}=\frac{(x+iy).(a-ib)}{a^2+b^2}=\frac{ax+by+i.(ay-xb)}{a^2+b^2}

Donc si : \frac{z_2}{z_1} est un imaginaire pur, alors :

Im(\frac{z_2}{z_1}) = 0 <=> \frac{ay-xb}{a^2+b^2}=0

soit à : ay-xb=0 et on retrouve bien la formule de colinérité ...

romain

Posté par
SquaLre : Représentation de lieu géométrique 01-10-05 à 15:59

Salut lyonnais,

Es-tu sûr de ta correction ?

Posté par
lyonnaisre : Représentation de lieu géométrique 01-10-05 à 16:00

Salut Squal : pratiquement lol , mais pas totalement :

et on retrouve bien la formule de colinéarité ...

c'est mieux comme ça non ?

romain

Posté par
SquaLre : Représentation de lieu géométrique 01-10-05 à 16:06

"Donc si : \frac{z_2}{z_1} est un imaginaire pur, alors :

Im(\frac{z_2}{z_1}) = 0 <=> \frac{ay-xb}{a^2+b^2}=0"

Ne serait-ce pas plutôt Re(\frac{z_2}{z_1}) = 0 ?

Posté par
lyonnaisre : Représentation de lieu géométrique 01-10-05 à 16:12

oups, le copier coller m'a encore fait du mal (pas gentils ) : merci pour la correction

C'est donc si \frac{z_2}{z_1} est un réel alors :

Im(\frac{z_2}{z_1}) = 0 <=> \frac{ay-xb}{a^2+b^2}=0

soit : ay-xb = 0  et on retrouve bien la formule de colinéarité ...

Là ça doit être bon !

Posté par
SquaLre : Représentation de lieu géométrique 01-10-05 à 16:15

Ca me parait correct.
Dur dur la prépa.. ça fatigue

Posté par
lyonnaisre : Représentation de lieu géométrique 01-10-05 à 16:16

C'est clair ...

cf ici :
\Longrightarrow Vrai/faux : spé maths

En tout cas, merci de corrigé toutes les bétises que je dis !

A+ sur l'
romain

Posté par makawel77 (invité)re : Représentation de lieu géométrique 01-10-05 à 16:48

Merci beaucoup ,lyonnais et SquaL , pour ce cours !
c'est beaucoup mieu expliqué que en cours !
je vais mettre sa en application maintenant

Bon Week-end et Merci !!!


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