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Réseaux (lattices) de R^d

Posté par
GWa
15-11-20 à 11:57

Bonjour à tous,

Cela doit bien faire plus d'une année que je n'ai pas posté de question sur ce forum, pourtant cher à mon coeur. Mais récemment, un ami m'a envoyé sa thèse de bachelor, et je butte sur certains détails.

Parmi ceux-là il y a des histoires de réseaux ("lattices" en anglais). Comme il semble y avoir plusieurs types de réseaux, je précise que je parle de ceux que l'on rencontre aux alentours des groupes topologiques localement compacts. Voici la page wikipédia qui présente ces objets:


Dans la thèse de cet ami, il cite le résultat suivant sans le montrer:

Tout réseau de (\R^d, +) est de la forme \Z^dg pour g\in GL_d(\R).

Même si ce résultat paraît intuitif, vu qu'ici la mesure de Haar est la mesure de Lebesgue, je ne saurais pas comment m'y prendre pour montrer ce résultat.

L'ami en question est passablement occupé et je n'ai pas trouvé la preuve dans les références qu'il cite, ni sur internet pas une recherche Google.

Si quelqu'un pouvait me suggérer une approche ou une référence, je lui en serais très reconnaissant .

Bon dimanche!

Posté par
malou Webmaster
re : Réseaux (lattices) de R^d 15-11-20 à 12:01

Bonjour GWa, et bon retour parmi nous
Peux-tu renseigner ton profil s'il te plaît, le choix est assez large pour que tu y trouves ton bonheur

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?


Merci

Posté par
mokassin
re : Réseaux (lattices) de R^d 15-11-20 à 13:07

Bonjour,

Une precision de terminologie. Certains appellent réseau un sous groupe discret de R^n, et disent réseau complet pour un réseau qui donne un quotient compact ou de rang n en tant que groupe (ce qui revient au meme). D'autres réservent le terme réseau au second cas.

Vu ce que tu dis, c'est plutot le second cas (mais dans le premier cas, tu as un resultat analogue).

Tu peux montrer qu'une famille R-libre maximale du réseau, engendre rationnellement le réseau, et à partir de la construire une Z-base.

Posté par
GWa
re : Réseaux (lattices) de R^d 16-11-20 à 10:09

Merci à vous deux pour vos réponses.

@malou Merci pour ce rappel. Je n'étais pas au courant. J'ai mis mon profil à jour.

@mokassin Merci pour ta réponse. Dans mon cas, je voulais parler des objets définis exactement comme dans la page wikipédia dont j'ai mis le lien. La compacité du quotient n'est à priori pas nécessaire. Concernant l'approche que tu suggères, j'ai de la peine à saisir comment j'arriverai à montrer que le quotient à une mesure finie. Mais je vais y réfléchir.

Posté par
mokassin
re : Réseaux (lattices) de R^d 16-11-20 à 10:38

Dans le cas d'un réseau de R^n, le fait d'être de covolume fini est équivalent avec le fait de donner un quotient compact.

Une fois que tu as une Z-base, tu vois facilement que le quotient est le produit d'un tore et d'un R^p, et nécéssairement p=0 si le quotient est compact ou le réseau de covolume fini.

Posté par
GWa
re : Réseaux (lattices) de R^d 17-11-20 à 13:48

Merci beaucoup pour ta réponse mokassin, ton aide est vraiment appréciée.

En ce moment mon boulot me laisse très peu de temps pour les maths, mais dès que j'aurai le temps de souffler, j'essayerai de suivre tes indications!

Posté par
GWa
re : Réseaux (lattices) de R^d 14-01-21 à 12:17

Bonjour à tous et bonne année!

Désolé pour cette longue pause entre cette réponse et la précédente. Il m'aura fallu attendre les vacances pour avoir le temps de me replonger dans les maths. J'ai essayé d'appliquer a solution de mokassin. Il me semble avoir compris l'idée générale que je vais essayer de décrire ici (juste pour être sûr qu'on parle de la même chose), par contre je bloque un peu sur les détails.

Si j'ai bien compris la suggestion de mokassin, comme ce qu'on veut en fin de comptes, c'est une famille d'éléments, \{g_1, \dots, g_d\}\subset \Gamma, tels que 
 \\ \Gamma = \left\lbrace x\in \R^d \mid \exists \lambda_1, \dots, \lambda_d \in \Z s.t. x = \sum_{i=1}^d\lambda_i g_i \right\rbrace,
 \\ donc en gros les colonnes de la matrice g désirée, on peut procéder comme suit:
1)  trouver une famille d'éléments \R-libre \{g_1, \dots, g_d\}\subset \Gamma. Comme toute famille \R-libre de \R^d génère \R^d, on aura en pariculiers que

 \\ \Gamma \subset \left\lbrace x\in \R^d \mid \exists \lambda_1, \dots, \lambda_d \in \R s.t. x = \sum_{i=1}^d\lambda_i g_i \right\rbrace
 \\
2) montrer que

 \\ \Gamma \subset \left\lbrace x\in \R^d \mid \exists \lambda_1, \dots, \lambda_d \in \Q s.t. x = \sum_{i=1}^d\lambda_i g_i \right\rbrace
 \\
3) montrer finalement que

 \\ \Gamma = \left\lbrace x\in \R^d \mid \exists \lambda_1, \dots, \lambda_d \in \Z s.t. x = \sum_{i=1}^d\lambda_i g_i \right\rbrace
 \\

Pour 1), j'imagine qu'il faut utiliser le fait qu'il existe un groupe fondamentale dont la mesure de Lebesgue est finite (en gros le quotient a une mesure finie).
Pour 2) et 3) j'imagine qu'il faut utiliser le fait que le groupe soit discret.

Mais j'ai de la peine à montrer tout ça formellement.

Est-ce que vous avez des conseils?

Posté par
mokassin
re : Réseaux (lattices) de R^d 14-01-21 à 12:32

Essaie d'abord de montrer qu'il existe une Z-base, ensuite seulement tu montreras que le rang vaut d, la dimension de ton espace.
Prend (x_1,...,x_k) une famille libre de R^d, qui soit maximale.
Maintenant montre ton point 2 et 3 (avec k au lieu de d).

Posté par
mokassin
re : Réseaux (lattices) de R^d 14-01-21 à 12:33

mokassin @ 14-01-2021 à 12:32


Prend (x_1,...,x_k) une famille libre de Gamma, qui soit maximale.

Posté par
GWa
re : Réseaux (lattices) de R^d 14-01-21 à 13:02

J'avoue que je suis toujours bluffé par la rapidité des gens qui répondent sur ce forum. Vous êtes vraiment extraordinaire!

Merci beaucoup pour ta réponse mokassin, je vais essayer ça alors!

Posté par
GWa
re : Réseaux (lattices) de R^d 13-02-21 à 14:58

Bonjour à tous,

Je suis revenu une à deux fois sur ce problème et je bloque un peu. Comme j'ai rarement deux heures de libre pour les math, mais que j'aime pas abandonner, ça fait que j'ai pas fait beaucoup de math récemment. Donc je pens que c'est mieux de mettre mon ego de côté et d'essayer d'avancer un peu avec votre aide.

J'ai essayé de faire ce que mokassin me conseille ici:

mokassin @ 14-01-2021 à 12:32

Essaie d'abord de montrer qu'il existe une Z-base, ensuite seulement tu montreras que le rang vaut d, la dimension de ton espace.
Prend (x_1,...,x_k) une famille libre de Gamma, qui soit maximale.
Maintenant montre ton point 2 et 3 (avec k au lieu de d).


Je me suis dit qu'il fallait que je choisisse ma famille avec soin parce que pas n'importe quelle famille libre maximale génerera la lattice qu'avec des coéfficients entiers. Par exemple, si je prend juste d=1, \Gamma = \Z, si je prends E = \{x_1 ^2\} on a bien que E est maximal (dans le sens où on peut pas ajouter d'élément de \Gamma qui ne soit pas linéairement dépendant. Et pourtant 1/2  x_1 \in \Gamma.

J'ai donc essayé de construire la famille de la manière suivante. D'abord prendre x_1\in \Gamma tel que \|x_1\| = inf \{ \|x\|  \text{ with } x\in\Gamma\}. L'infimum est atteint grâce au fait que \Gamma est discret. Ensuite prendre x_2 de norme minimale dans l'intersection entre \Gamma et le complément de l'espace vectoriel des combinaison linéaire à coéfficient réel de x_1. Répéter le processus jusqu'à ce que l'on ne puisse plus. On obtient ainsi un bon candidat comme famille génératrice de \Gamma. Mais c'est pas évident à priori, qu'on ne peut pas avoir \lambda_1, \dots, \lambda_j \in (0, 1) tels que \lambda_1 x_{k_1}+\dots+ x_{k_j} \in \Gamma. En faisant des dessins, j'ai l'impression qu'on pourrait alors ensuite construire un autre élément qui contredirait la minimalité de x_{\max_i k_i)}, mais on tombe dans des calculs trigonométriques cauchemardesques... et j'en viens à me dire que j'ai pas vraiment choisi la bonne approche...

Posté par
GWa
re : Réseaux (lattices) de R^d 13-02-21 à 15:05

Je me rends compte que ce que j'ai écrit au dessus manque peut-être de clareté. Enfait, cette famille que je décris plus haut me paraît un bon candidat parce que l'on ne peut pas avoir \lambda\in \R\backslash \Z, \lambda x_i \in \Gamma car c'est facile de montrer que ça contredirait la minimalité de la norme de x_i. Par contre quand on prend des combinaison linéaires de plusieurs éléments, c'est plus difficile de montrer qu'il y a un problème.

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