Niveau école ingénieur

Résolution d'équation arctan et arcos

Posté par
ando26 28-10-10 à 13:29

Bonjour,
je voudrais m'avancer dans mes devoirs et j'essaie d'apprendre a résoudre des équations mêlant des fonctions inverses. Cependant j'arrive a des choses un peu bizarres.

voila l'équation :
$\arctan x = 2 \arccos (\frac{x}2)$

En composant par cosinus, j'obtiens l'équation suivante :

$\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} = \frac{x^{2}-2}{2}$

2quation que je n'arrive pas a résoudre car je tombe sur un polynôme de degrés 6 ....

Je dois faire une erreur mais je sais pas trop comment faire autrement.

Merci

Posté par re : Résolution d'équation arctan et arcos 28-10-10 à 16:49

Bonjour

Je pose :

a = arctan(x) et b = arccos( $2$\textrm\fra{x}{2}$ )

Cela entraine :

1°) $2$\textrm -\fra{\pi}{2}$ < a < $2$\textrm\fra{\pi}{2}$

2°) 0 b et -2 x 2

Alors, l'équation initiale devient : a = 2b, ce qui impose finalement :

0 b < $2$\textrm\fra{\pi}{4}$ et 0 a < $2$\textrm\fra{\pi}{2}$

On a aussi : x = tan(a) et x = 2cos(b).

Cela se traduit par : tan(2b) = 2cos(b).

$2$\textrm\fra{2tan(b)}{1-tan^2(b)}$ = 2cos(b)

En repassant en sinus et cosinus :

sin(b) = cos²(b) - sin²(b)

sin(b) = cos(2b) = 1 - 2sin²(b)

Donc, sin(b) est solution de l'équation : 2sin²(b) + sin(b) - 1 = 0

Elle s'écrit aussi : (2sin(b)-1)(sin(b)+1) = 0

Compte tenu de la restriction portant sur b, cela donne : b = $2$\textrm\fra{\pi}{6}$

Donc, finalement x = 2cos( $2$\textrm\fra{\pi}{6}$ ) = $2$\textrm\sqrt 3$

Posté par re : Résolution d'équation arctan et arcos 28-10-10 à 16:52

bonjour

-1<=x/2<=1 donc -2<=x<=2

dans ce cas

cos(2arccos(x/2))=2cos²(arccos(x/2))-1
                 =2(x²/4)-1
                 =(x²-2)/2
cos²(arctanx)=1/(1+tan²(arctan(x)))
             =1/(1+x²)
donc
cos(arctanx)=1/V(1+x²)

ce qui donne
1/V(1+x²)=(x²-2)/2 et -2<=x<=2

tu pose X=1+x²
1/VX=(X-3)/2  et 1<=X<=5
1/X=(X-3)²/4
donc X(X-3)²=4
intuitivement X=4 est solution
X^3-6X²+9X-4=0
X²(X-4)-2X²+9X-4=0
X²(X-4)-2X(X-4)+X-4=0
(X-4)(X²-2X+1)=0
(X-4)(X-1)²=0
deux solutions X=4 et X=1
si X=1 alors x=0 ne convient pas
X=4 alors x²=3 et x=V3 ou x=-V3

Posté par re : Résolution d'équation arctan et arcos 28-10-10 à 17:33

Bonjour watik.

La solution -V3 n'est pas valable (regarde les restrictions dans mon corrigé).

Posté par re : Résolution d'équation arctan et arcos 28-10-10 à 17:59

Merci a tous les deux d'avoir répondu.

Je comprends pas toutes les étapes de la correction de raymond mais je le remercie grandement car je vais essayer d'explorer ce terrain aussi.

Moi j'avais plutôt suivi la méthode de watik, ce qui me manquait c'était le changement de variable, qui est une bonne idée.

Encore merci a tous les deux.