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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Résolution d'équation avec congruence
Posté par Asterias
Bonjour,
comment faire pour trouver les solutions de 3x(x+2) congru à 1 modulo 8 ?
"3x(x+2) congru à 1 modulo 8" équivaut à "3x est l'inverse de x+2 dans Z/8Z" donc
PGCD(3x,8)=1
et PGCD(x+2,8)=1
puisque les inversibles de Z/8Z sont premiers avec 8... mais après?
justifier la première équivalence bien sur ...
et tu sais, je pense, résoudre des équations du second degré ... en faisant attention qu'on travaille modulo 8 ...
Merci !!!
Pour la première équivalence, est ce que c'est:
3x(x+2)
1[8] 
3x3(x+2)3[8]
Or 3x31[8] donc finalement x(x+2)3[8] ?
Il y a la méthode "bête", mais qui a l'avantage de réussir: essayer toutes les valeurs modulo 8. Il n'y en n'a que 8, et certaines vérifications sont très rapides, comme 0 et 1.
En particulier, x=1 est solution. Tu as droit encore à 6 essais ...
Bien sûr, cette méthode sera plus difficile à pratiquer pour une congruence modulo 1024 par exemple ... quoique: on peut utiliser un tableur, si, en tant que mathématicien, on ne répugne pas à utiliser un outil informatique. Méthode qui aura elle aussi ses limites, si on examine des propriétés générales, modulo p non précisé.
Oui, c'est vrai que ce genre de méthodes peut être utile dans certains cas, mais c'est toujours plus amusant de trouver une astuce 
Merci quand même 
Asterias @ 29-04-2018 à 11:27
Oui, c'est vrai que ce genre de méthodes peut être utile dans certains cas, mais c'est toujours plus amusant de trouver une astuce
Merci quand même
Oui, c'est vrai que ce genre de méthodes peut être utile dans certains cas, mais c'est toujours plus amusant de trouver une astuce
Merci quand même
On peut aussi considérer ça comme une astuce ...
Tous les coups sont permis ...
salut
une autre proposition :
en partant de 3x ² + 6x - (8k+1)= 0 il vient
x ' = -1 - (4/6).
(3+6k).
x" = -1 + (4/6).(3+6k).
dans les deux cas si on s'arrange pour que 3+6k soit un carré parfait c'est gagné
il convient donc de trouver k tel que 3+6k =p² pour cela il suffit d'examiner les restes de p modulo 6 et on verra que seul p =3[6] convient , l'ecriture de k est donc immediate et k =( (6j+3)²-3) /6 = 6j² +6j +1 et donc
x' = - 1 - (4/6)36j²+36j+9) = -1 - (4/6).(6j+3) = -3-4.j
x" = - 1 + (4/6)36j²+36j+9) = -1 + (4/6).(6j+3) = 1+4.j
on a donc deux solutions x '= -3-4.j et x"= 1+4.j sauf erreur
..un test avec x' ( si on prend j =0 , alors x' =-3 alors -9.(-1)=9 =1[8]
avec x" si on prend j=0 alors x" = 1 alors on a directement 9=1[8]
quelle tristesse ... 
il suffit de retourner au collège (et réviser ses identités remarquables et autres factorisations) pour écrire ::
l'ensemble des solutions est alors trivial ..
carpediem @ 29-04-2018 à 19:48
il suffit de retourner au collège (et réviser ses identités remarquables et autres factorisations) pour écrire ::
![3x(x +2) \equiv 1 [8] \iff x(x + 2) \equiv 3 [8] \iff x^2 + 2x - 3 \equiv 0 [8] \iff \red x^2 + 2x+ 1 - 4 \equiv 0 [8] \iff (x + 1)^2 - 2^2 \equiv 0 [8}] \iff (x - 1)(x + 3) \equiv 0 [8]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3x(x +2) \equiv 1 [8] \iff x(x + 2) \equiv 3 [8] \iff x^2 + 2x - 3 \equiv 0 [8] \iff \red x^2 + 2x+ 1 - 4 \equiv 0 [8] \iff (x + 1)^2 - 2^2 \equiv 0 [8}] \iff (x - 1)(x + 3) \equiv 0 [8])
l'ensemble des solutions est alors trivial ..
il suffit de retourner au collège (et réviser ses identités remarquables et autres factorisations) pour écrire ::
l'ensemble des solutions est alors trivial ..
Pas tant que ça ...
/8 n'est pas intègre ... Il y a trois diviseurs de zéro 2, 4, 6. Ce qui fait pas mal de cas à examiner.
A bien y regarder, l'essai dès le départ des 8 valeurs possibles n'est pas si idiot que ça.
et alors ...
on adapte la règle du produit nul à un anneau non intègre ...
x - 1 = 0 ou x - 1 = 2 et x + 3 = 4 ou x - 1 = 4 et x + 3 = 4 ou ...
on écrit toutes les éventualités correctement et on remarquera que de toutes les conditions doubles il ne doit pas y en avoir beaucoup qui donnent des solutions ...
la méthode d'essai est certes efficace mais est bourrine et mécanique (se programme ou tableur) mais je préfère toujours une méthode basée sur des savoirs élémentaires et faisant appel à l'intelligence plus qu'à de la mécanique ... en tout cas pour des petits modulo évidemment pour bien apprendre et comprendre le principe ...