La piste que je peux te donner est de remplacer z par i et -i et
de voir si tu trouves 0.

Une méthode lourde et laborieuse (mais efficasse) consisterait a
remplacer Z par X+I*Y...mais il faut bien maitriser le calcul complexe
et une erreur de signe est vite arrivée, d'autre part, le degrès
de l'équation est 4, ce qui n'est pas forcément aisé.

Mais on peut, dès lors que l'on sait qu'il y a une solution
réelle et une solution imaginaire pure, remplacer Z par X, puis par
I*Y.

Oui puis tu peux aussi tenter des factorisations avec des solutions
particulières que tu trouve....

C'est toujours très ennuyeux ce genre d'équation...

je vous remercie beaucoup de votre aide ca me touche

bonjour
permettez moi de vous répondre.

si z est une solution réelle alors l'équation peut s'écrire:

z4 - 4(1+i)z3 + 12iz² - 8i(1+i)z -5 = 0

ssi (z^4-4z^3+8z-5)+i(-4z^3+12z²-8z)=0     ;en regroupant les

termes en i et les autres

comme z est réelle donc la partie imaginaire de:
ssi (z^4-4z^3+8z-5)+i(-4z^3+12z²-8z)=0  est nulle ainsi que sa partie
réelle.

donc:

z^4-4z^3+8z-5=0                (1)
et
-4z^3+12z²-8z=0                 (2)

(2) donne -4z(z²-3z+2)=0

ssi -4z(z-1)(z-2)=0

ssi z=0 ou z=1 ou z=2

z=0 ne convient pas car elle n'est pas solution de (1).
z=1 covient car (1)^4-4(1)^3+8(1)-5=0
z=2 ne convient pas car elle n'est pas solution de (1).

donc la solution réelle est z=1.

dans ce cas l'équation:z4 - 4(1+i)z3 + 12iz² - 8i(1+i)z -5 = 0

peut s'acrire:

(z-1)(z^3-(3+4i)z²+(-3+8i)z+5)=0

j'ai divisé le polynome z4 - 4(1+i)z3 + 12iz² - 8i(1+i)z -5 par (z-1)
pour trouver le quotion :z^3-(3+4i)z²+(-3+8i)z+5.

donc

(z-1)(z^3-(3+4i)z²+(-3+8i)z+5)=0 est équivalente à

z=1 ou z^3-(3+4i)z²+(-3+8i)z+5=0

comme l'équation admet une solution imaginaire pure alors:

z^3-(3+4i)z²+(-3+8i)z+5=0 ademet une solution imaginaire pure.

soit z=ix cette solution avec x un réel.

-ix^3+(3+4i)x²+i(-3+8i)x+5=0

ssi (3x²-8x+5)+i(-x^3+4x²-3x)=0

ssi
3x²-8x+5=0                    (3)
et
-x^3+4x²-3x=0              (4)

(4) ssi -x(x²-4x+3)=0
       ssi -x(x-1)(x-3)=0
       ssi x=0 ou x=1 ou x=3

x=0 ne convient pas car elle n'est pas solution de (3)
x=1 convient car elle solution de (3)
x=3 ne convient pas car elle n'est pas solution de (3)

donc la solution imaginaire pure est z=i.

donc
z^3-(3+4i)z²+(-3+8i)z+5=(z-i)(z²-(3+3i)z+5i)

il reste à résoudre:

z²-(3+3i)z+5i=0

D=(3+3i)²-4(5i)=9-9+18i-20i=-2i=2exp(i3Pi/2)

rc(D)=rc(2)exp(i3Pi/4) ou rc(D)=-rc(2)exp(i3Pi/4).

comme exp(3iPi/4)=- 1/rc(2) +i/rc(2)

rc(D)=-1+i  ou rc(D)=-1-i

z1=((3+3i)-1+i)/2=(2+4i)/2=1+2i

z2=((3+3i)+1-i)/2=(4+2i)/2=2+i

donc S={1, i, 1+2i, 2+i}

voila

bon courage




donc rc(2)exp(i3pi/4)=-1+i

merci Watik c'est vraiement très gentil de votre part de m'avoir
aider  car en applicant z=x+iy je trouvais 3 lignes de calcul et
j'étais bloqué!!!


grand merci
lili

bonjour

je suis ravi que ma réponse vous agrée.

souvenez vous toujours avant d'allez vers des développement en utilisant
z=x+iy que (C,+,.) est une algèbre. de plus C est un epace vectoriel
sur R. donc vous pouvez effectuer toutes les opérations sur C en
manipulant des complexes z sans avoir à considérer leurs projection
x et y sur (1,i).

Ne passez aux développement en x et y que si vous êtes "bloqués".
mais même dans ce cas gardez bien dans votre espris que si vous êtes "bloqués"
c'est sûrement parce qu'il y a quelque chose qui vous "échape".

bonne chance