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resolution d'equation differentielle

Posté par Ivana14 (invité) 13-03-07 à 19:36

bonsoir tout le monde es ce que vous pouvez me resoudre cette equation differentielle en mettant de commentaires pour que je puisse resoudre ces types d'équation la prochaine fois (surtout la methode pour la resolution avec le second menbre).
l'equation est  
y''+(b^2)y = (sin(x))^2

on suppose que b((b^2)-4) est non nul (c l'énoncée)

Posté par
infophilere : resolution d'equation differentielle 13-03-07 à 19:56

Bonsoir

Après quelques calculs bourrins je trouve :

4$ \fbox{y=\frac{2}{b^2(b^2-4)}cos(bx)+\frac{1}{2b^2}-\frac{cos(2x)}{2(b^2-4)}}

Si j'ai 5 minutes je joindrais la méthode dans la soirée

Posté par Ivana14 (invité)re : resolution d'equation differentielle 13-03-07 à 20:31

merci  infophile. Mais es ce que quelqu'un peut me donner les details du calcul
merci d'avance

Posté par
infophilere : resolution d'equation differentielle 13-03-07 à 20:37

De rien

Commence par chercher la solution de l'équation homogène.

Ensuite j'ai linéarisé 3$ \red sin^2(x)=\frac{1}{2}(1-cos(2x))

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : resolution d'equation differentielle. 13-03-07 à 21:22

Bonsoir ;
La solution prticulière de infophile est bonne on pourra la justifier de la manière suivante :
Les solutions de l'équation homogéne \fbox{(H_0)\hspace{5}{:}\hspace{5}y''+b^2y=0} sont les fonctions \fbox{y\hspace{5}{:}x\to\alpha cos(bx)+\beta sin(bx)\\\alpha,\beta\in\mathbb{R}} qui forment clairement un plan vectoriel \vec{F} dont (cos(bx),sin(bx)) est une base.
On sait que l'ensemble solution de l'équation \fbox{(H)\hspace{5}{:}\hspace{5}y''+b^2y=sin^2(x)} est un espace affine F de doirection \vec{F} et s'écrit donc \fbox{F=y_0+\vec{F}} où y_0 est une solution particulière quelconque de (H).
La difficulté réside en général dans la prévision de la forme d'une solution particulière :
\fbox{*} une condition nécessaire est de choisir y_0 dans un espace de fonctions E (de dimension au moins 2) qui contient la fonction \fbox{x\to sin^2(x)} et qui soit stable par l'opérateur \fbox{\phi\hspace{5}{:}\hspace{5}y\to y''+b^2y}.
En linéarisant \fbox{sin^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{cos(2x)}{2}} on s'aperçoit que \fbox{E=Vect(1,cos(2x))} convient et en posant \fbox{y_0=A+Bcos(2x)} un calcul facile donne \fbox{y_0=\frac{1}{2b^2}-\frac{cos(2x)}{2(b^2-4)}}.
Finalement les solutions de l'équation (H) sont les fonctions 4$\blue\fbox{y{:}x\to\alpha cos(bx)+\beta sin(bx)+\frac{1}{2b^2}-\frac{cos(2x)}{2(b^2-4)}\\\alpha,\beta\in\mathbb{R}}
(sauf erreur bien entendu)

Posté par
infophilere : resolution d'equation differentielle 13-03-07 à 22:04

Bonsoir ehlor

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : resolution d'equation differentielle. 13-03-07 à 22:10

Bonsoir infophile

Posté par Ivana14 (invité)re : resolution d'equation differentielle 13-03-07 à 22:22

merci beaucoup à vous deux infiphile et elhor en tout cas vous etes des pros moi je commence les etudes superieurs
bonne soirée

Posté par
infophilere : resolution d'equation differentielle 13-03-07 à 22:29

Euh moi je suis loin d'être un pro

D'ailleurs ehlor tu n'aurais pas un lien qui explique le lien entre les équa-diff et les espaces de fonctions ? Pour que je comprennes où tu veux en venir dans ton message précédent

Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : résolution d'équation différentielle. 13-03-07 à 22:46

OK infophile , tu pourras par exemple consulter

Posté par
infophilere : resolution d'equation differentielle 13-03-07 à 22:48

Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : résolution d'équation différentielle. 13-03-07 à 23:19

De rien infophile


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