Je ne pense pas qu'on puisse résoudre l'équation x-5+5LN(x)
  = 0 analytiquement. (A vérifier).

Mais on peut montrer qu'il y a une et une seule solution et ensuite
on la cherche par approximations successives.

Pour montrer que le solution existe et est unique:

f(x) est définie et continue sur ]0 ; oo[
f '(x) = 1 + 5/x
-> f '(x) > 0 dans le domaine de définition de f(x)
f(x) est partout croissante.
lim(x-> 0+) f(x) = -oo
lim(x->oo) f(x) = oo

Des 3 lignes précédentes, on conclut qu'il y a une et seule solution
à l'équation f(x) = 0.

Ensuite, on approche la valeur de x qui annule f(x) par approximations successives,
soit alpha cette valeur.

f(1) = -4 < 0
f(2) = 2-5+5.ln2 = 0,46... > 0
Donc  1 < alpha < 2
f(1,5) = -1,47... < 0
Donc  1,5 < alpha < 2
f(1,75) = - 0,45
Donc  1,75 < alpha < 2
f(1,875) = 0,018 > 0
Donc  1,75 < alpha < 1,875
f(1,8125) = -0,21... < 0
Donc  1,8125 < alpha < 1,875
f(1,84375) = -0,09...
Donc  1,84375 < alpha < 1,875
f(1,859375)  = -0,03...
Donc  1,859375 < alpha < 1,875
f(1,8671875)  = -0,01 < 0
Donc  1,8671875 < alpha < 1,875
f(1,87109375) = 0,003... > 0
Donc  1,8671875 < alpha < 1,87109375
...
Et ainsi de suite, on resserre les butées autant qu'on veut pour
approcher la valeur de alpha avec la précision voulue.
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Sauf distraction.