Bonjour,

Je me permet de vous contacter aujourd'hui car je rencontre des difficultés à résoudre cet exercice. Voici l'énoncé :

On considère une corde tendue vibrante dont la longueur à l'équilibre est 𝐿 et dont les deux extrémités sont fixées : 𝑢(0,𝑡) = 𝑢(𝐿,𝑡) = 0. La masse de la corde par unité de longueur est 𝜌 et la tension à l'équilibre est donnée par 𝑇0. Le déplacement
transversal de la corde par rapport à sa position d'équilibre est donné par 𝑢(𝑥,𝑡) et satisfait le problème aux conditions limites :

{𝜌𝜕²𝑢/𝜕𝑡²(𝑥,𝑡) = 𝑇0𝜕²𝑢/𝜕𝑥²(𝑥,𝑡)
𝑢(0,𝑡) = 𝑢(𝐿,𝑡) = 0            𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥)         𝜕𝑢/𝜕𝑡 (𝑥, 0) = 0
Nous allons utiliser les paramètres matériels et la condition initiale donnés ci-dessous : 𝐿 = 1 [𝑚]; 𝜌 = 0.01 [𝐾𝑔⁄𝑚]; 𝑇0 = 0.1 [𝑁]
𝑢0(𝑥) = sin (𝜋𝑥/𝐿) [𝑚𝑚]

La solution du problème est parfaitement périodique dans le temps avec une période
𝑇 = 2𝐿/𝑐. La vitesse de propagation de l'onde est donnée par 𝑐 = √𝑇0/𝜌.

1) Pour les discrétisations spatiale et temporelle
a) Effectuez une discrétisation spatiale par les différences finies
b) Cherchez le système de n équations différentielles du second ordre
𝒖𝒊(𝒕) = 𝒖(𝑿𝒊, 𝒕) 𝒊 = 𝟏, … , 𝒏
c) Effectuer la discrétisation temporelle par les différences finies
2) Résoudre ce problème avec la méthode de Runge Kutta d'ordre 2 et d'ordre
4 (RK2 et RK4)
3) Tracez la solution sur 2T (RK2, RK4 et odeint)

Voici ce que j'ai commencé à coder :

1)
a) On me demande simplement de réaliser une discrétisation spatiale donc je passe par linspace.

def discretisation_spatiale(L, N):
    return np.linspace(0, L, N+1)

J'ajusterai N par la suite.

b) Pour cela, je définis les différentes dérivées partielles à l'aide de la méthode des différences finies, donc ∂²u/∂x²(x,t) = ([u i+1,j] −2*[u i,j]+[u i−1,j])/dx**2 et ∂²u/∂t²(x,t) = ([u i,j+1] −2*[u i,j] + u[ i,j−1])/dt**2. J'injecte ces expressions dans l'équation vérifiée par l'énoncé pour obtenir le systèmes de n équations demandé :

[u i,j+1] =2*[u i,j]−u[ i,j−1] + α*([u i+1,j] −2*[u i,j] + [u i−1,j]) en posant α= T0(Δt)²/ρ(Δx)²

c) Je procède comme à la question a) mais en passant par la période cette fois-ci. Je définis donc les paramètres dont j'ai besoin :

T = 2*L / np.sqrt(T0/rho)
ht = T/N

def discretisation_temporelle(T, N):
    return np.linspace(0, T, N+1)

2) C'est ici que j'ai du mal. Dans un premier temps, je vais me concentrer sur la méthode de Runge Kutta d'ordre 2 uniquement. Voici les fonctions que j'ai codé :

def derivation(u,v):
    v_prime = np.zeros_like(v)
    v_prime[1:-1] = (T0 / rho) * np.diff(u, 2) / dx**2
    return v,v_prime

def runge_kutta_2(u, v, dt):
    k1, k1_prime = derivation(u, v)
    k2, k2_prime = derivation(u + dt/2 * k1, v + dt/2 * k1_prime)
  
    u_prochain = u + dt * k2
    v_prochain = v + dt * k2_prime
  
    return u_prochain, v_prochain

3) Là je définis les paramètres du problème, mon pas de temps et j'initialise les valeurs.

N = 100
dx = L / N  
x = np.linspace(0, L, N+1)  

T = 2 * L / np.sqrt(T0 / rho)

dt = 0.1
t = np.arange(0, 2*T, dt)  

u_init = u0(x)
v_init = np.zeros_like(u_init)

u = u_init
v = v_init

plt.figure(figsize=(10, 5))
for i in range(len(t)):
    if i % 50 == 0:  
        plt.plot(x,u,label=f"t={t[i]:.2f}s")
    u,v = runge_kutta_2(u,v,dt)

plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Le hic c'est que je n'obtient absolument pas ce qui m'est demandé, à savoir la solution sur 2T. J'ai du mal à comprendre ce que l'on attend de moi (je ne suis absolument pas avancé en informatique) puisque je ne comprends pas vraiment la méthode de résolution de Runge Kutta mise à part que l'on procède par itération en approchant la valeur de la solution.  

Pouvez-vous me dire si je suis sur la bonne voie/ ce qu'il faudrait que j'essaye s'il vous plaît ?

Merci d'avance,

~adddraw