Bonjour.

Quelles sont les hypothèses sur f ?

A plus RR.

En fait l'énoncé complet c'est :
Soit I un intervalle de R et f une fonction de I dans R dérivable sur I.
Soient a et b appartiennent à un I de R et a<b.
On suppose que f'(a)f'(b)<0
On définit les fonctions p et q telles que
p(x)= (f(x)-f(a))/(x-a) si xa
    =  f'(a) si x=a

et q(x)= (f(b)-f(x))/(b-x) si xb
       =  f'(b) si x=b

On veut montrer que le sistème d'équations p(y)=0 ou q(y)=0 admet au moins une solution en y.

Comme f'a)f'(b)<0, l'une au moins des quantités p(a)p(b) ou q(a)q(b) est négative ou nulle. On applique ensuite le théorème des valeurs intermédiaires.

Ok, je vois un peu mieux, mais comment je pourrais en conclure que f' vérifie la propriété des valeurs intermédiaires ?

De ce qui précède, on déduit l'existence de deux points distincts c et d de [a,b] tels que f(c)=f(d). Le théorème de Rolle permet d'affirmer l'existence d' un y dans ]c,d[ (donc dans ]a,b[ tel que f'(y)=0.

Donc: si f'a)f'(b) <0, il existe y dans ]a,b[ tel que f'(y)=0