sans parler de régulière ou homogène, si le déterminant de la matrice est 0, alors le système admet un unique triplet solution.

D'accord, mais par exemple dans une annale, la correction est la suivante : "système non homogène et système non régulier donc il y a une infinité de solution". Il semblerai que cela ait un rapport...

peux tu nous montrer le système ?

a titre d'exemple, ce que je t'ai indiqué précédemment ne peut s'appliquer qu'à des systèmes ayant autant d'équations que d'inconnues (sans quoi, on ne pourrait pas calculer le déterminant de la matrice)

Voilà le système :

2ix + 3iy + 2z = 2
ix + iy + Z = 4
ix + 2iy + z = -2

avec i²=-1
pour le déterminant j'ai trouvé 0 donc le système est non régulier et il est non homogène.
Donc d'après la correction il y a une infinité de solution et aussi parce que les équations sont indépendantes (je n'ai pas compris non plus pourquoi elles sont dépendantes ou pas)

un petit tour sur Google t'aurait permis de voir ce que signifie
un système régulier    ( un système dont le déterminant est non nul )
un système homogène    ( un système où toutes les équations sont de la forme ax + by + cz = 0 )

lorsqu'un système est homogène alors le triplet (0;0;0) est une des solutions possibles ... ce qui nous permet d'affirmer qu'il y a au moins une solution .

lorsqu'un système n'est pas régulier alors l'ensemble des solutions est : soit vide  ... soit composé d'une infinité de triplets solutions.

Lorsqu'un système n'est pas régulier alors un certaine "combinaison judicieuse" des équations permettrait d'écrire 0x+0y+0z = ...

lorsqu'un système n'est pas régulier, il se peut que cette "combinaison" donne 0x+0y+0z = 0, alors l'ensemble des solutions est infini.
lorsqu'un système n'est pas régulier, il se peut que cette "combinaison" donne 0x+0y+0z = une constante non nulle, alors l'ensemble des solutions est vide.

Lorsqu'un système n'est pas régulier, on cherche à déterminer très exactement combien d'équations apportent vraiment quelque chose au niveau des contraintes sur les inconnues ( ce nombre d'équation est appeler rang du système )

le rang du système donne exactement combien nous pourrons exprimer d'inconnues en fonction de ..._{(tiens, c'est vrai ça, en fonction de quoi ?)} ... en fonction du reste des inconnues !

pas de panique, c'est simple ...
un système de 5 équations avec 5 inconnues (x₁;x₂;x₃;x₄;x₅) est de rang 3 ...
donc je peux exprimer 3 inconnues (par exemple x₁ ; x₃ ; ₅) en fonction des deux inconnues restantes (x₂ et x₄)

revenons à ton système
3 équations, 3 inconnues (x;y et z)
un déterminant = 0 donc le système n'est pas régulier ...
la première équation est "2ix + 3iy + 2z = 2" donc le système n'est pas homogène

a ce niveau, on ne sait pas encore conclure ....

en effet considère le système suivant
x+y+z=1
x+y+z=1
x+y+z=1  

non homogène, non régulier mais une infinité de solutions car de rang 1 (une seule équation apportant des contraintes aux inconnues)

considère le système
x+y+z=1
x+y+z=1
x+y+z=2

non homogène, non régulier mais un ensemble solution vide car une équation contradictoire avec les deux autres

comme tu peux le voir, selon les cas une infinité de solutions ou bien aucune solution ...

Il faut donc regarder de près ton système et regarder dans quel cas nous sommes placé

on voit assez vite que L₁ - L₂ - L₃  donne 0x+0y+0z = 0  ce qui justifie que l'ensemble des solutions est infini

D'autre part ce système n'est pas de rang 1 car les 3 équations sont distinctes
Il est donc de rang 2, ce qui signifie que tu peux exprimer x et y en fonction de z.

Merci beaucoup!
Je savais déjà ce que homogène et régulier voualient dire mais je ne voyais pas le rapport avec le nombre de solutions!
Et donc si je comprends bien, si je calcul à chaque fois L1-L2-L3 je vois combien il y a de solutions?

pas si simple !!!
dans TON exemple  L1 - L2 - L3  donne 0x+0y+0z = 0

pour tout autre exercice, il te faudra trouver quelle combinaison donne 0x+0y+0z =

D'accord ça devient plus clair! =)

Merci =)

de rien