Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... École ingénieur TrigonométrieTopics traitant de trigonométrie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau école ingénieur
Partager :

Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques

Posté par
IAMFIRE 19-06-16 à 13:35

Bonjour,

Travaillant un peu la mécanique vibratoire, je suis amené à résoudre un système de 4 équations trigonométriques à 4 inconnues afin de déterminer via les conditions initiales du système les Ai et i (correspondant à l'amplitude et à la phase d'une réponse vibratoire). Or problème, ces équations font intervenir des sinus et je ne vois pas du tout comment résoudre ce système :

A1*sin(1)*0,7969 + A2*sin(2)*0,4944 = 0
A1*sin(1)*(-0.6041) + A2*sin(2)*0.8693 = 0
1*A1*cos(1)*0.7969 + 2*A2*sin(2)*0.4944 = 0
1*A1*cos(1)*(-06041) + 2*A2*sin(2)*(0.8693) = 0

Avec 1 et 2 connus.
Les conditions initiales du système sont x(0) = 0 et x'(0) = 10.
La réponse générale du système vibratoire est :

A1*sin(1*t + 1)*u1+ A2*sin(2*t + 2)*u2

Avec u1, u2 les vecteurs propres du système connus.

Merci par avance pour votre aide

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques 19-06-16 à 13:52

bonjour : )

Des deux premières équations, une simple combinaison linéaire te conduit à A1 = 0 ou \sin\Phi_1 = 0.

Ensuite, la suite est simple.

Posté par
IAMFIREre : Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques 19-06-16 à 14:24

D'accord, merci pour ta réponse rapide ! Par contre j'ai vu que mon système contenait des erreurs. Voici le bon :

A1*sin(1)*0.7969 + A2*sin(2)*0.4944 = 0
A1*sin(1)*(-0.6041) + A2*sin(2)*0.8693 = 0
1*A1*cos(1)*0.7969 + 2*A2*cos(2)*0.4944 = 10
1*A1*cos(1)*(-0.6041) + 2*A2*cos(2)*(0.8693) = 10

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques 19-06-16 à 14:48

Oui ça ne change rien. Suis ce que je te propose dans mon précédent message.

Posté par
IAMFIREre : Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques 19-06-16 à 15:04

Admettons que je prenne A1 = 0, mon système devient :

A2*sin(2)*0,4944 = 0
A2*sin(2)*0,8693 = 0
2*A2*cos2)*0,4944 = 10
2*A2*cos2)*0,8693 = 10

Avec (3) je trouve A2 = 10/(2*cos(2)*0,4944).
Avec (4) je trouve A2 = 10/(2*cos(2)*0,8693).

En remplaçant A2 trouvé dans (3) dans (1) j'ai 10*tan(2) = 0 donc 2 = 0 ?

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques 19-06-16 à 15:13

Il y a en effet des cas impossible.

a) Si A_1 = 0 on a, avec (1) ou (2) : ou bien A_2 = 0 ou bien \sin\varphi_2 = 0.
Comme le cas A_2 = 0 est impossible on a \sin\varphi_2 = 0.
D'ici, \cos\varphi_2 = 1 et A_2 prend deux valeurs distinctes ce qui est impossible.
On voit qu'on ne peut prendre A_1 = 0 donc A_1 \neq 0.

b) Si \sin\phi_1 = 0 ...

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques 19-06-16 à 15:26

b) Si \sin\varphi_1 = 0 ...

Posté par
IAMFIREre : Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques 19-06-16 à 15:33

Si sin(1) = 0, on a cos(1) = 1 ? Alors le système d'équations se réécrit :

A2*sin(2)*0,4944 = 0
A2*sin(2)*0,8693 = 0
1*A1*0.7989 + 2*A2*cos(2)*0,4944 = 10
1*A1*(-0,6041) + 2*A2*cos(2)*0,8693 = 10

Avec (3) on obtient : A2 = (-1*A1*0,7989 + 10)/(2*cos(2)*0,4944) ?

Donc en remplaçant dans (4), on a :

A1 = -7,5829/(-1*0,6041 - (1*0,7969*0,8693)/0,4944) ?

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques 19-06-16 à 15:53

Citation :
Si sin(1) = 0, on a cos(1) = 1 ?
Si tu me poses cette question c'est que tu n'en es pas certain ?

En fait lorsque \sin\varphi_1 = 0 on a \cos\varphi_1 = 1 ou \cos\varphi_1 = -1, souviens toi que \forall x \in \R, \cos^2x + \sin^2x = 1.
Dans mon précédent message j'ai écrit que \cos\varphi_1 = 1 mais la réponse est plutôt \cos\varphi_1 = 1 ou \cos\varphi_1 = -1 lorsqu'aucune condition n'est donnée sur \varphi_1 et de toute façon on n'en avait pas besoin précédemment car le cas A_1 = 0 est impossible.

Bon ensuite c'est bien mais incomplet.
Que fais-tu de \varphi_2 ?

Avec (1) ou (2) on a A_2 = 0 ou \sin\varphi_2 = 0.
Il faut faire encore une disjonction de cas.

***

Plus méthodiquement :

b) Si \sin\varphi_1 = 0 alors A_2 = 0 ou \sin\varphi_2 = 0.
Si A_2 = 0 on est embêté donc en fait A_2 \neq 0 et \sin\varphi_2 = 0.

D'ici, \large A_2 = \frac{10(1 - \gamma)}{(\delta - \beta \alpha)\omega_2\cos\varphi_2} = \left\{\begin{matrix}\frac{10(1 - \gamma)}{(\delta - \beta \alpha)\omega_2} & \text{ si } \cos\varphi_2 = 1 \\ \frac{10(1 - \gamma)}{(\beta \alpha - \delta)\omega_2} & \text{ si } \cos\varphi_2 = -1\end{matrix}\right.

Puis A_1 = ....

J'ai noté \alpha = 0.7969, \beta = 0.4944, \gamma = -0.6041, \delta = 0.8693.

Posté par
lafol Moderateurre : Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques 19-06-16 à 16:03

Bonjour
pose x = A_1\sin\varphi_1, y = A_2\sin\varphi_2, z = A_1\cos\varphi_1, t = A_2\cos\varphi_2. ton système devient la réunion de deux systèmes linéaires, l'un en x,y l'autre en z,t : aucune difficulté

ensuite, revenir à tes inconnues n'est pas plus compliqué que trouver les coordonnées polaires d'un point connu en coordonnées cartésiennes ....

Posté par
IAMFIREre : Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques 19-06-16 à 16:13

D'accord j'ai compris pour l'histoire de sin(1) = 0.

Comment es-tu parvenu à déterminer l'expression de A2 ?

Si je tiens compte de cette expression, on trouve avec (3) que :

A1 = 10 - 2 * 10(1 - )/(( - )*2*1*)

Maintenant on peut déterminer l'expression des angles ?

lafol : D'accord, j'essaierai comme tu m'as dis mais avec mdr_non on a sûrement trouvé le bon bout !

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques 19-06-16 à 16:43

Pour A_2 j'ai écrit comment.

De a) on a déduit que \boxed{A_1 \neq 0} et \boxed{\sin\varphi_1 = 0}.

Le système est équivalent à : \left\{\begin{matrix}A_1\sin\varphi_1 = 0 \\ A_2\sin\varphi_2 = 0 \\ \alpha \omega_1 A_1 \cos\varphi_1 + \beta \omega_2 A_2 \cos\varphi_2 = 10 \\ \gamma\omega_1 A_1 \cos\varphi_1 + \delta \omega_2 A_2 \cos\varphi_2 = 10\end{matrix}\right.

D'ici, A_2 = 0 ou \sin\varphi_2 = 0 (avec (2)).

Disjonction des cas :
Si A_2 = 0 on est embêté (je te laisse le voir c'est exactement comme précédemment).

Donc en fait on a \boxed{A_2 \neq 0} et \boxed{\sin\varphi_2 = 0}.

Ainsi, une combinaison linéaire de (3) et (4) nous permet de trouver par exemple :

\beta \omega_2 A_2 \cos\varphi_2 - \frac{\alpha}{\gamma} \delta\omega_2 A_2 \cos\varphi _2 = 10\left(1 - \frac{\alpha}{\gamma}\right)

Ok ?

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques 19-06-16 à 16:53

Dans le message de 19-06-16 à 15:53 le A_2 était erroné.

Pour poursuivre mon précédent message, les angles sont faciles à trouver, \boxed{\sin\varphi_1 = 0 \Leftrightarrow \varphi_1 = ...}, \boxed{\sin\varphi_2 = 0 \Leftrightarrow \varphi_2 = ...}, il suffit de connaitre son cercle trigonométrique.

Posté par
IAMFIREre : Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques 19-06-16 à 16:59

Oui oui si sin(1)  = 0, 1 = 0 ou n*pi. D'accord, c'est compris. Maintenant, plus qu'à déterminer A1 et A2 par substitution avec la combinaison linéaire !
Merci beaucoup pour tes réponses et ta patience, j'ai tous les éléments qu'il me faut

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'un système de 4 équations trigonométriques 19-06-16 à 17:02

Je t'en prie : ) Bonne continuation : )


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !