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résolution d une équation avec exponentiel

Posté par rayman (invité) 12-02-05 à 11:06

bonjour,
je suis actuellement en bts compta 2ème année et
je doit résoudre l'équation : (0,3x - 1)e^0,3x = 80
je doit le rendre à mon prof le 14/02/05
veuillez recevoir mes salutations distinguées

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : résolution d une équation avec exponentiel 12-02-05 à 11:40

Ce genre de problème ne se résoud pas facilement.

Il faut d'abord rechercher le nombre de solutions possibles.

(0,3x - 1)e^0,3x = 80
(0,3x - 1)e^0,3x - 80 = 0

f(x) = (0,3x - 1)e^0,3x - 80

f '(x) = 0,3.e^0,3x + (0,3x-1).0,3.e^(0,3x)
f '(x) = 0,09x.e^(0,3x)

Comme une exponentielle est toujours positive, f '(x) a le signe de x.

f '(x) < 0 pour x < 0 -> f(x) est décroissante
f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) >0 pour x > 0 -> f(x) est croissante.

Il y a un min de f(x) pour x = 0, ce min vauf f(0) = - 81 et donc < 0
lim(x-> -oo) f(x) = - 80 et donc < 0

Comme lim(x-> -oo) f(x) < 0, que f(x) est décroissante pour x < 0, il n'y a pas de solution à f(x) = 0 pour x dans ]-oo ; 0]

lim(x-> oo) f(x) = oo donc positif

Comme f(0) < 0, que f(x) est croissante pour x > 0 et que lim(x-> -oo) f(x) > 0, on coclut:

Il y a une et une solution à f(x) = 0 et cette solution est dans R+.
----

On peut alors chercher la solution par approximations successives (par exemple par la méthode dichotomique)

On arrive à:
f(11,585) = -0,006... < 0
f(11,586) = 0,02... > 0

et donc la solution est alpha = 11,585 à moins de 0,001 par défaut.

On peut si on veut continuer les approximations successives si on veut plus de précision sur la valeur de alpha.
-----
Sauf distraction.  


Posté par rayman (invité)merci 12-02-05 à 12:06

merci bcp
par contre j'avai oublié de vous dire qu'il fallait le résoudre sur l'intervalle [10;18] donc sur R+. mais ç'est pas grave j'ai bien compris le reste ainsi que la méthode d'approximation.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : résolution d une équation avec exponentiel 12-02-05 à 13:24



Dans ma réponse précédente, j'ai été victime des "copier-coller"

A la place de:

"Comme f(0) < 0, que f(x) est croissante pour x > 0 et que lim(x-> -oo) f(x) > 0, on coclut: ..."

Lire:

Comme f(0) < 0, que f(x) est croissante pour x > 0 et que lim(x-> oo) f(x) > 0, on conclut: ..."




Posté par rayman (invité)remerci 12-02-05 à 19:11

ok merci ça s'éclaire mieux...



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