Bonjour.

connais-tu la méthode de " variation de la constante " ?

oui je connais mais le probleme c'est que je ne sais pas sous quelle forme chercher ma solution particulière.
D'habitude c'est soit un polynome, soit un polynome.exp(t)mais là ce qui me gène c'est que l'exponentielle soit au dénominateur.

y = A.exp(x)

On suppose que A est une fonction de x. Donc :

y' = A'.exp(x) + A.exp(x).

Reporte y et y' dans ton équation complète.

En remplacant dans l'equation on a donc :
A'.exp(x)=-1/(1+exp(-x))
donc A'=-exp(-x)/(1+exp(-x)) d'où A =ln(exp(-x))=-x

Donc mes solutions sont de la forme :
A.exp(x)-x

Si je veux vérifier :
A.exp(x)-1-A.exp(x)+x = -1+x

Quel est le lien avec la solution -1/(1+exp(-x)) ?

Pour la solution partculière :

y = A.exp(x)

On suppose que A est une fonction de x. Donc :

y' = A'.exp(x) + A.exp(x)
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y' - y = A'.exp(x)

A comparer avec y'-y = -1/(1+exp(-x)).


--> A'.exp(x) = -1/(1+exp(-x)).

A'.exp(x) + A' = -1

A' = -1/(1 + exp(x))

dA = -dx/(1 + exp(x))

A = - S [1/(1 + exp(x))] dx

A = - S [(1+exp(x)-exp(x))/(1 + exp(x))] dx

A = - S dx + S [exp(x)/(1 + exp(x))] dx

A = -x + ln(1+exp(x))

Sol particulière: y = A.exp(x)

y = -x.exp(x) + exp(x).ln(1+exp(x))
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Tu as intérêt à vérifier mes calculs.

merci beaucoup ! j'ai refais les calculs, je trouve pareil