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Résolution d'une équation fonctionnelle
Bonjour,
Je suis en prépa HEC et dois rendre un devoir maison que je ne parviens pas à commencer. En voici le début de l'énoncé :
On désigne par f une fonction dérivable sur R telle que, pour tout couple de réels (x,y) :
f(x+y) = (f(x)+f(y))/(1+f(x)f(y)) (E)
1) Montrer que, pour tout nombre réel x, on a : -1
f(x)1
Il s'agit dans la suite de l'exercice de déterminer toutes les fonctions f non constantes, dérivables et vérifiant (E) mais ces questions ne semblent pas me poser de problèmes pour l'instant. Je bloque sur la question 1). J'ai tenté des disjonctions de cas selon si f(x) et f(y) sont de même signe ou de signes contraires mais n'ai abouti à aucun encadrement de f(x). Merci d'avance de votre aide.
Salut
On suppose f solution ; pour x=y, on a .
L'inégalité vraie pour tout a et b réels donne
? Qu'est-ce que ça donne pour a=1 et b=f(x) ?
Remarque : à la fin, la conclusion est que les fonctions solutions sont les , a réel.
Je bloque sur une autre question : exprimer f'(x) en fonction de f(x) et de f'(0).
J'ai pensé à utiliser la définition d'une dérivée en écrivant f'(x) sous la forme d'un taux d'accroissement mais je ne vois pas comment faire apparaître f'(0)...
Il faudrait préciser ce que tu as montré précédemment.
En particulier, tu as dû avoir une question sur la valeur de f(0). Dans cette question, on est sûrement en train de se placer dans le cas où f(0)=0.
Si c'est le cas, on peut effectivement former un taux d'accroissement.
Tu considères donc x un nombre quelconque et h différent de 0.
Commence par calculer et simplifier f(x+h)-f(x).
Kaiser
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