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résolution d'une equation fonctionnelle utilisant la continuité

Posté par
pierrick428 25-04-08 à 10:40

Bonjour,

Je m'interesse à résoudre l'exercice suivant qui me donne pas mal de fil à retordre !

On cherche les fonctions continu vérifiant :
(x;y)², f(xf(y))=yf(x) (*)

A - ANALYSE

1)a)montrer fof bijective puis f bijective -> réussi
b) Soit(a,b,x,y) des rééls positifs non nuls fixé
Soit
:[0,1]
tf[(1-t)b + ty] - f[(1-t)a +tx]

(i) montrer phi continue -> réussi
(ii)montrer, en raisonnant par l'absurde (0)(1)> 0 ->pas réussi
(iii) en déduire f strictement monotone -> réussi

2)a) calculer f(1) -> réussi : f(1)=1
b) calculer f(f(x) -> réussi : f(f(x))=x

Pour la suite, j'est totalement décroché !

3)On suppose f strictement décroissante
a) Montrer que, pour tout y*+ distinct de 1, f(y) 1
b)calculer f(xf(x)) pour tout x de *+. En déduire f.

4) On suppose f strictement croissante
A l'aide de 2)b) et en raisonnant par l'absurde, établir : x*+, f(x)=x

B)SYNTHESE

Merci d'avance pour les pistes de raisonnement que vous pourrez me donner.

Posté par
pierrick428re : résolution d'une equation fonctionnelle utilisant la contin 25-04-08 à 11:45

Pour la A)1)b)(ii):

en raisonnant par l'absurde on montre que t[0,1], (t)0.

Puis en utilisant la continuité de , on peut en déduire le résultat voulu.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : résolution d'une equation fonctionnelle utilisant la contin 25-04-08 à 12:29

Et la fonction nulle !!! (sauf erreur bien entendu)

Posté par
pierrick428re : résolution d'une equation fonctionnelle utilisant la contin 25-04-08 à 13:26

comment ça ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : résolution d'une equation fonctionnelle utilisant la contin 25-04-08 à 13:47

Et bien ! Si je ne me trompe , la fonction nulle est bien solution de l'équation fonctionnelle 4$\fbox{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\;,\;continue\\\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\;f\left(xf(y)\right)=yf(x)} non ?

Posté par
pierrick428re : résolution d'une equation fonctionnelle utilisant la contin 25-04-08 à 13:51

dans le pb tel que je l'ai posé : je suis d'accord.
Mais j'ai omis de préciser que l'on cherche les fonctions continue de +*+*. Ce qui exclue la fonction nulle !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : résolution d'une equation fonctionnelle utilisant la contin 25-04-08 à 14:58

\fbox{3.a} f étant supposée strictement décroissante la fonction g : x\to x-f(x) est strictement croissante sur ]0,+\infty[ ,
et ainsi \forall y>0 on a 4$\fbox{y<1\Longrightarrow g(y)<g(1)=0 \Longrightarrow y<f(y)\\y>1\Longrightarrow g(y)>g(1)=0 \Longrightarrow y>f(y)}.

\fbox{3.b} 3$\blue\fbox{\forall x>0} on a g(xf(x))=0 donc xf(x)=1 donc 4$\blue\fbox{f(x)=\frac{1}{x}}.


\fbox{4} f étant supposée strictement croissante on a3$\blue\fbox{\forall x>0} , 4$\fbox{f(x)<x\Longrightarrow f(f(x))<f(x) \Longrightarrow x<f(x)\\f(x)>x\Longrightarrow f(f(x))>f(x) \Longrightarrow x>f(x)} ,
donc 4$\blue\fbox{f(x)=x}. (je te laisse faire la synthèse , sauf erreur bien entendu)

Posté par
pierrick428re : résolution d'une equation fonctionnelle utilisant la contin 25-04-08 à 15:08

merci beaucoup, c'est bien plus que ce que je demandais

Posté par
carpediemrésolution d'une équation fonctionnelle 25-04-08 à 16:08

juste pour le plaisir: (car le travail est déja tout fait)

f est bijective et f(1)=1 donc si y1 alors f(y)1

si x=y alors f(xf(x))=xf(x) pour tout x donc f(X)=X (quand f est croissante)

et puisque f(1)=1 alors xf(x)=1 donc f(x)=1/x (quand f est décroissante)

à +

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : résolution d'une equation fonctionnelle utilisant la contin 25-04-08 à 17:33

Une question : Que se passe-t-il si on ne suppose plus f continue 5$\fbox{?}

Posté par
carpediemrésolution d'une équation fonctionnelle 25-04-08 à 18:55

pas réfléchi... mais

mon raisonnement n'utilise pas la continuité mais juste des notions d'application

cet exo est un cas particulier d'une application d'un ensemble dans lui-même (car on multiplie un nombre et une image et donc puisqu'on multiplie on doit avoir une loi interne)

si on veut avoir la fonction inverse alors il nous faut des inverses donc E est un groupe (rem la commutativité n'intervient même pas (à priori))

ni même les variations et la continuité qui nécessite de l'ordre et topologie

mais à priori on n'utilise que le fait que ]0,+
est un groupe multiplicatif

le reste c'est pour décorer mais ça permet de proposer ta solution qui fait intervenir l'ordre
en particulier l'ordre te permet de distinguer tes deux solutions

en fait l'hypothèse fondamentale c'est la bijectivité de f

de plus en faisant x = 1 on obtient fof(y) = f(1)y donc fof est linéaire donc fof est continue (si on introduit la continuité) d'où une queston tout d'un coup: fof continue implique-t-il f continue ?

j'ai simplement travaillé avec les hypothèses minimales

ou alors la continuité sert à montrer que est continue puis la stricte monotonie de f (donc si on rajjoute de l'ordre)

voila il me semble

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : résolution d'une equation fonctionnelle utilisant la contin 26-04-08 à 11:21

Sans la continuité :

On cherche 4$\blue\fbox{f\;:\;\mathbb{R}_+^*\to\mathbb{R}_+^*\\\forall x,y>0\;,\;f\left(xf(y)\right)=yf(x)}.

\fbox{1} f est clairement surjective et en notant 2$\fbox{g=\frac{f}{f(1)}} il est facile de voir que pour tout x>0\;,\;gof(x)=x donc f injective donc f bijective ,
et comme pour tout x>0 on a gof\left(f^{-1}(x)\right)=f^{-1}(x) on voit que 2$\fbox{f^{-1}=\frac{f}{f(1)}} et donc f^{-1}(1)=1 soit f(1)=1 et f est involutive.

\fbox{2} En posant \fbox{z=f(y)} dans l'encadré bleu on voit que 5$\red\fbox{f\;:\;\mathbb{R}_+^*\to\mathbb{R}_+^*\\\forall x,z>0\;,\;f(xz)=f(x)f(z)}.

On est donc amené à chercher les automorphismes involutifs du groupe 3$\fbox{(\mathbb{R}_+^*\;,\;\times)}(à suivre , sauf erreur bien entendu)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : résolution d'une equation fonctionnelle utilisant la contin 26-04-08 à 19:27

\fbox{3} Par le biais de la conjuguaison 2$\fbox{f\to\ell n ofoexp} notre problème se ramène à la recherche des automorphismes involutifs du groupe \fbox{\left(\mathbb{R},+\right)}.

Si s est un tel automorphisme 3$\fbox{\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\;s(x+y)=s(x)+s(y)\\sos=Id_{\mathbb{R}}} on vérifie facilement que 4$\blue\fbox{\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\;s(x+y)=s(x)+s(y)\\\forall(r,x)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{R}\;,\;s(rx)=rs(x)\\sos=Id_{\mathbb{R}}} ,

s est donc (tout simplement) une symétrie vectorielle de \mathbb{R} en tant que \mathbb{Q}-espace vectoriel (de dimension infinie bien entendu).

Et ainsi en admettant l'existence de telles symétries (c'est à dire en fait en admettant l'existence de couples de sous espaces supplémentaires du \mathbb{Q}-espace vectoriel \mathbb{R})
on voit que notre problème (sans l'hypothèse de la continuité) admet une infinité de solutions (il y'en a autant qu'il y'a de s).

Mais bien entendu les seules s continues pour la topologie usuelle de \mathbb{R} sont \pm Id_{\mathbb{R}} qui correspndent respectivement (par conjuquaison)
aux seuls automorphismes involutifs continus du groupe \fbox{\left(\mathbb{R}_+^*,\times\right)} : 2$\blue\fbox{f=Id_{\mathbb{R}} et 2$\blue\fbox{f=\frac{1}{Id_{\mathbb{R}}} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
pierrick428re : résolution d'une equation fonctionnelle utilisant la contin 26-04-08 à 19:36

Oula, cela devient trop complexe !
sans la continuité, cela sort de ce que je peut comprendre (La notion de fonction involutive étant hors programme en PCSI ; cette notion est seulement au programme de MPSI il me semble. De même on ne travaille, selon le programme, que sur des espaces vectorielles construits sur le corps des réels ou des complexes).

Posté par
carpediemrésolution d'une équation fonctionnelle 27-04-08 à 17:23

hello elhor,

désolé je n'avais pas tout à fait saisi le sens de ta question (pour le 2° psot) mais il me semble que mon raisonnement convenait (après qu'on ait prouvé la bijectivité de f et que f(1)=1 que j'avais laissé de côté puisque ça avait été fait)

raisonnement algébrique (certe pas tout détaillé comme toi) qui permet de trouver une solution qui répond à la condition de variation à postériori (alors qu'effectivement tu pars de cette hypothèse à priori pour faire ton raisonnement)et suivre ce qui est demandé dans les questions

il est évident qu'après avoir trouvé une solution j'aurais été embêté si elle ne répondait pas à la condition de variation

mais pour ton raisonnement je dois dire qu'il faut y penser à cette fonction g (même si c'est vrai qu'on retrouve souvent ce type de raisonnement en analyse)
je proposait simplement une solution part un autre chemin car parfois on a des difficultés avec le chemin proposé

d'ailleurs autre chose auquelle je n'avais pas fait attention c'est la formule avec ton z qui nous montre que souvent avec un simple petit changement de variable tout devient clair

ouais je sais je "manque" de rigueur dans le sens ou j'essaie  d'apporte une idée à développer

petite digression: pour les énigmes faut-il donner la solution ou faut-il aussi la preuve ?
avec la 205 (après 2 msg bogués j'ai envoyé quand même une proposition pour le plaisir de participer)

merci pour ton 2° post qui m'a justement permis de faire une belle petite ballade et (re)découvrir des trucs bien lointains pour moi (et c'est dur)

alors juste une question puisque tu fais une hypothèse (sous-espaces supplémentaires): existent-ils réellement : peut-on voir comme un peigne infini où chaque dent représente une droite vectorielle engendrée par un irrationnel
et en quoi tes solutions autre que l'identité et l'inverse ne sont-elles pas continues car je vois pas vraiment

désolé il y a 3 questions

merci et bien amicalement

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : résolution d'une equation fonctionnelle utilisant la contin 27-04-08 à 21:02

Salut pierrick428 et carpediem ;

D'abord une petite rectification :
à la fin de mon dernier post lire plutôt : les seuls automorphismes involutifs continus du groupe 3$\fbox{(\mathbb{R}_+^*,\times)} sont 4$\blue\fbox{f=Id_{\mathbb{R}_+^*}} et 4$\blue\fbox{f=\frac{1}{Id_{\mathbb{R}_+^*}}}.



Citation :
...sous-espaces supplémentaires , existent-ils réellement : peut-on voir \mathbb{R} comme un peigne infini où chaque dent représente une droite vectorielle engendrée par un irrationnel...


L'axiome du choix dit que 4$\;oui\; , puisqu'avec cet axiome on a l'existence d'une base 4$\fbox{(e_i)_{i\in I}} de \mathbb{R} comme \mathbb{Q}-espace vectoriel
(où I est bien entendu un ensemble infini non dénombrable sinon \mathbb{R} serait dénombrable...)
et ainsi pour toute partition 2$\{J,K\} de I , les sous-espaces 3$\fbox{E=Vect(e_j\;,\;j\in J)} et 3$\fbox{F=Vect(e_k\;,\;k\in K)} sont bien supplémentaires.

Citation :
...et en quoi tes solutions autre que l'identité et l'inverse ne sont-elles pas continues car je vois pas vraiment...


c'est l'objet même de l'exercice de pierrick428 , et on a bien prouvé qu'avec l'hypothèse de la continuité les seules solutions étaient 2$\fbox{f=Id_{\mathbb{R}_+^*}} et 2$\fbox{f=\frac{1}{Id_{\mathbb{R}_+^*}}} donc ?

Citation :
pour les énigmes faut-il donner la solution ou faut-il aussi la preuve ?


Une solution prouvée est toujours meilleure ! Non ?(sauf erreur bien entendu)

Posté par
carpediemrésolution d'une équation fonctionnelle 28-04-08 à 00:05

hello elhor et merci de me consacrer qq instant

question 1): je vois que mon intuition n'était pas trop mauvaise
ah ce fameux axiome du choix... ça fait longtemps

question 2):

Citation :
et en quoi tes solutions autre que l'identité et l'inverse ne sont-elles pas continues car je vois pas vraiment...

les symétries vectorielles ne seraientt-elles pas continues, c'est ce que tu laisses sous-entendre et je pensais le contraire
ou alors si on en revient au pb posé, quelle fonction non continue vérifie la propriété demandée (et donc bijective et f(1)=1...) "simple" sans regarder comme un -ev ?
je ne vois pas vraiment alors je profite de faire la sangsue (toujours pour le savoir) même si je sue sang et eau pour essayer de trouver par moi-même

question 3): tout à fait d'accord
(mais bon tu vas encore te "moquer" de moi quand tu liras ma réponse au pb 205 pour lequel j'ai essayer de faire une dem rigoureuse ... qui ne l'est pas vraiment)

bonne soirée même si tu ne lis ce msg que demain et merci par avance


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