Resolution de l'equation generale de degre 3

1. On considere une equation (E) ax3 +bx2 +cx+d = 0, (a, b, c, d)appartenant a R, adifférent de 0 dont on cherche
les solutions dans C.
Montrer qu'il existe un reel alpha qu'on determinera et des reels p et q qu'on
ne cherchera pas a calculer tels que, si on pose x = x' + alpha, on ait l'equivalence :
pout tout x apartenant a C, x solution de (E) equivaut a x' solution de (E') avec (E') : x'3 + p'0 + q = 0.

2. Dans toute la suite du probleme, on fixe p et q reels, qdiférent de 0 et on considere l'application f de R dans R
definie par : pour tout x de R, f(x) = x3 + px + q.   (a) On suppose p plus grand ou egal a 0. Dresser le tableau de variations de f sans calculer f'.
   (b) On suppose p < 0. Montrer que f' s'annule pour deux valeurs reelles x1 et x2, (x1 < x2) et
montrer que f(x1)f(x2) =(4p^3/27)+q^2.
    (c) Deduire des deux questions precedentes le nombre de solutions reelles de l'equation (E') en
fonction uniquement du signe de 4p3 + 27q^2.

3. On pose x = y + z, (y, z)appartiennent a C^2.
     (a) Determiner, en fonction de p, un unique reel alpha tel que, pour y*z= alpha, l'equation (E') s'ecrive :
y3 + z3 = −q.
     (b) Montrer qu'alors, y^3 et z^3 sont les solutions d'une equation du second degre dont le discriminant
est : q^2 +4p^3/27.

4. On suppose dans cette question que q2 +4p3/27 > 0 et on note A1 et A2 les solutions de l'equation
trouvee a la question 3.b. (on ne demande pas le calcul de ces solutions). On pose enfin
lambda1= racine cubik(A1) et lambda2 = racine cubik(A2).
Montrer que les solutions complexes (reelles incluses) de (E') sont :
lambda1 + lambda2,
j*(lambda1) +(jbarre)*(lambda2),
(jbarre)*lambda1 + j*lambda2
On rappelle que j = exp[(2ipi)/3] = −1/2+ i*racine(3)/3.

5. On suppose dans cette question que q^2+4p^3/27 < 0. On note A et Abarre les racines complexes conjuguees de l'equation trouvee a la question 3.b. et lambda une racine cubique quelconque de A; Montrer que les solutions de (E') sont :
2R(lambda), 2R(j*lambda), 2R(jbarre*lambda).

6. Comparer les resultats des questions 4) et 5) avec ceux de la question 2.b.