salut,
si le systeme a au moins une solution alors une relation simple lie les 4 parametres des seconds membres
Cherche quelle est cette relation.

On a

Non plutôt

Joli
Vois tu comment continuer ?

Non. Je voulais essayer d'avoir une relation qui lierait Z₁ et a₁,a₂,a₃ou a₄ mais j'y arrive pas

je note x, y, z, t les inconnues et a, b, c, d les parametres
si ta relation est fausse alors etc
si elle est satisfaite alors a=...
ensuite par exemple t=2d-x puis z=..., y=... puis etc

je precise
si a=b+d-c alors les systemes suivants sont equivalents:
x+y=2a, y+z=2b, z+t=2c, t+x=2d
x=2d-t, y=2a-x=2(b+d-c)-2d+t=..., z=2c-t, ...

Excusez-moi mais j'ai pas très bien compris comment procéder. Est ce que la démarche est de prendre une équation, de tirer un inconnu en fonction de l'autre et d'un paramètre et ensuite de remplacer ce paramètre en utilisant la première égalité que vous m'avez demandé d' établir ?

oui tu dois montrer que le systeme est equivalent à un systeme de 3 equations par exemple:
x=2d-t
y en fonction de b, c et t
z en fonction de c et t
la derniere equation est satisfaite

J'ai trouvé

oui tres bien donc les solutions du systeme sont les quadruplets du type ... avec t reel.

Donc S={(2d-t , 2b-2c + t , 2c-t, t), t}

oui en rappelant qu'il s'agit du cas a+c=b+d sinon pas de solution

Ok merci beaucoup

Bonjour,
Il y a une jolie symétrie entre les inconnues et aussi entre les paramètres.
D'où l'idée d'essayer de retrouver cette symétrie dans le résultat final.
Pas facile, j'ai galéré...
Et finalement trouvé quelque chose d'un peu artificiel dans le cas où il y a des solutions.

b+d = a+c. ; donc t = t + (b+d) - (a+c).
Et aussi t = t + (a+c) - (b+d).
x, y, z et t peuvent tous s'écrire t a b c d :

x = -t + a - b + c + d
y = t + a + b - c - d
z = -t -a + b +c + d
t = t + a - b + c - d = t - a + b - c + d

Et on peut vérifier facilement les quatre égalités du système de départ.

un detail qui m'a echappe les parametres et les inconnues sont des complexes.

À moi aussi ce détail m'avait échappé.
Il y a peut-être d'autres questions avec des modules ou des conjugués

Bonjour à tous,

Une interprétation possible dans le plan complexe :

Les 4 points sont donnés dans une configuration de parallélogramme (pour que la système ait des solutions).



On part d'un point quelconque du plan et on lui fait subir successivement  les 4 symétries centrales.
La composition des 4 symétries est l'identité du plan.

C'est  le théorème de Varignon !

... qui donne (dans le cas où ) :

quelconque.

Donc on ne peut pas connaitre la valeur de z1 en fonction de a1, a2, a3 et a4?  

z₁ joue le même rôle que le t que tu as utilisé.

As-tu compris ce qu'il fallait corriger dans la citation de 14h05 ?

Non

t?

oui