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Résolution des equations differentielles lineaires par l'algèbre
n
N
(E) y(n)+an-1y(n-1)+ ... +a0y = z
Déterminer une méthode de résolution de l'équation (E) lorsque le second membre est de la forme z(t) = r(t)e
.t avec r un polynome de degre n.
Résoudre y'''-4y''+5y'-2y = (t+1)e3t+e2t
Je pose la question de façon un peu abrupte, l'exercice est bien plus long et ce n'est que la toute fin... J'espère que vous pourrez m'aider.
Merci beaucoup !
En principe tu as déjà les solutions de l'équation sans second membre. Alors tu cherches une solution
où P est un polynôme de degré deg(r)+ordre de multiplicité de
dans le polynôme caractéristique.
Dans le cas particulier: le polynôme caratéristique est (x-1)2(x-2).
Tu auras une solution particulière P(t)e3t+Q(t)e2t avec P de deré 1 et Q de degré 1.
Bonjour?
On résout l'équation homogène (H) en résolvant l'équation caractéristique P(x)=0 associée.
Pour chaque racine simple u, on obtient la fonction exp(ux) comme choix possible d'un vecteur de base de l'espace des solutions.
Pour chaque racine d'ordre k, on obtient de même les vecteurs exp(ux), x.exp(ux)...xk-1.exp(ux).
3 cas se présentent ensuite pour la recherche d'une solution particulière:
1)Si lambda n'est pas racine de P, on cherche une solution particulière sous la forme s(x).exp(lambda.x) avec deg(s)
2)S'il en est racine simple, s sera de degré au plus n+1
3)S'il en est racine double, s sera de degré au plus n+2.
Ensuite, la solution générale de (E) est égale à cette solution particulière additionnée à la solution générale de (H), comme toujours.
Bonjour Tigweg et Camélia
Je suis en cours, et j'inaugure l'ordinateur de ma salle par un petit coucou sur l'ile...
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