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résolution équation différentielle

Posté par bahamut (invité) 29-10-05 à 13:51

        
        Bonjour à tous!
  Suite à un problème de mécanique il me faut résoudre cette équa diff:


       d/dt(v)+a*v²=b    (a et b étant des constantes réelles connues)
    
        Je n'arrive pas à linéariser cette équation si quelqu'un pouvait m'éclairer... merci d'avance

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : résolution équation différentielle 29-10-05 à 16:31

Bonjour;
Notons 4$\red\fbox{(E){:}v'+av^2=b}
(*)Si a=0 la solution est 3$\blue\fbox{v=bt+\lambda\\\lambda\in\mathbb{R}}
(*)Si b=0 on a 4$\fbox{(E){:}\frac{v'}{v^2}=-a} qui s'intégre en 4$\fbox{(E){:}\frac{1}{v}=at+\lambda\\\lambda\in\mathbb{R}} soit 4$\blue\fbox{(E){:}v=\frac{1}{at+\lambda}\\\lambda\in\mathbb{R}}
(*)Supposons alors 2$\fbox{ab\neq0} et remarquons que notre équation s'écrit aussi 4$\fbox{(E){:}\frac{v'}{\frac{b}{a}-v^2}=a} et on est donc amené à discuter les deux cas:
(*)(*)2$\fbox{ab>0} posons 3$\fbox{\omega^2=\frac{b}{a}} l'équation devient 4$\fbox{(E){:}\frac{v'}{\omega^2-v^2}=a} ou encore 4$\fbox{(E){:}\frac{1}{2\omega}(\frac{v'}{\omega+v}+\frac{v'}{\omega-v})=a} qui s'intégre en 4$\fbox{(E){:}ln(|\omega+v|)-ln(|\omega-v|)=2a\omega t+\lambda} soit aprés simplification 4$\blue\fbox{{v=\omega\frac{Ae^{2a\omega t}-1}{Ae^{2a\omega t}+1}\\A\in\mathbb{R}}
(*)(*)2$\fbox{ab<0} posons 3$\fbox{\omega^2=-\frac{b}{a}} l'équation devient 4$\fbox{(E){:}\frac{v'}{\omega^2+v^2}=-a} qui s'intégre en 4$\fbox{(E){:}arctan(\frac{v}{\omega})=-a\omega t+\lambda} et donc que 4$\blue\fbox{(E){:}v=\omega tan(A-a\omega t)\\A\in\mathbb{R}}

Sauf erreurs bien entendu


Posté par bahamut (invité)re : résolution équation différentielle 29-10-05 à 17:42

  
    Merci beaucoup elhor ... et a bientot peut etre


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