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Résoudre un probleme
Salut,
j'ai besoin d'aide sur ce probleme
Soit n un entier. On appelle composition de n toute suite finie () d'entiers strictements positifs dont la somme fait n.
Les entiers sont appelés parts de la composition , p est la longueur de la composition.
Par exemple (4, 2, 3), (3, 2, 4) et (4, 4, 1) sont trois compositions de 9 de longueurs 3. Soit le nombre de composition de n de longueur p. On se gardera de confondre
avec le coefficient binomial
.
1)Calculer pour n et p inférieur ou égal à 4.
2)Montrer que le nombre de compositions de n de longueur p et dont la première part est 1 est égal au nombre de compositions de n-1 de longueur p-1 .
3)Montrer que le nombre de compositions de n de longueur p et dont la première part est différente de 1 est égal au nombre de compositions de n-1 de longueur p.
4)Soit la série génératrice
Montrer que
5)En déduire que:
6)Montrer que le coefficient de dans f(z,t) est égale à
. Indication : Écrire f(z,t) sous la forme
Merci d'avance a ceux qui répondront
Salut,
Un petit coup de pouce:
1) bon, la, faut se prendre par la main et se taper l'ecriture des compositions:
methodiquement:
n=1 p=1 seule possibilite a1 = 1: C1,1 = 1
n=2 p=1 a1 = 2 C2,1 = 1
p=2 a1 = 1, a2=1 C2,2 = 1
etc...
(a noter que Cn,1 = Cn,n = 1)
2) je vais appeler En,pl'ensemble des compositions de n de longueur p. Donc Card(En,p) = Cn,p.
Soit un element de En,p, dont la premiere part est 1. Notons An,p ce sous-ensemble de En,p.
On l'ecrit (1, a2, ... ap)
Par definition 1 + a2 +...+ ap = n
donc a2 +...+ ap = n-1
et donc (a2, ... ap) est une composition de n-1, de longueur p-1.
Soit:
An,p 
En-1,p-1
Reciproquement, si on prend un element de En-1,p-1:
(a1,...,ap-1),
alors le p-uplet (1, a1,...,ap-1) est une composition de n de longueur p.
Et donc:
An,p 
En-1,p-1
On a egalite des deux ensembles, et egalite de leur cardinaux.
3. On fait un peu pareil...
On voit que si (a1, ap) est une composition de n de longeur p, avec a1 > 1, alors (a1-1,..,ap) est une composition de n-1 de longueur p. Je te laisse montrer la bijectivite de cette "application"...
4. en utilisant 2 et 3 on etablit l'egalite:
Cn,p = Cn-1,p-1 + Cn-1,p
On remplace dans fn(z):
On remet le z qui traine tout seul dans la deuxieme somme, on fait un petit changement d'indice dans la premiere, et on a:
fn(z) = (1+z).fn-1(z)
D'ou fn(z) = (1+z)n-1.f1(z)
Et f1(z) = z assez facilement.
A toi pour le reste....
A+
biondo
Ah ben tiens.
Peut-etre juste se mefier un peu de mes sommes infinies (j'ai la flemme). Notamment la validite de la formule Cnp = Cn-1p + Cn-1p-1... Il faut remarquer que pour p>n, Cnp = 0. ALors y a peut-etre un effet de bord. Rien de dramatique, il suffit de faire attention.
mais la, vraiment.... la flemme.
biondo
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