Bonjour

Cherchons une solution particuliére de cette équation sous la forme avec u un scalaire à déterminer .

On a :

et


On a donc :


On doit donc avoir .

la solution particuliére est donc

On en déduit donc la solution finale :



Jord

Arf il y a une petite erreur . Enfin bref , tu auras compris la manoeuvre


jord

Euh oui , j'ai oublié de signaler l'erreur

La solution est sous la forme


Jord

merci pour votre aide elle m'est tres utile.

voila comment j'ai fait:

g(t)= cos2t+sin2t
g"(t)= -2sin2t+2cos2t

(on sait que y1=sint+cos2t)

ce qui fait:
  
-2 sin2t+2cos2t+4cos2t+4sin2t
=cos2t

      {-2+4=0
       2+4=1
je multiplie par deux la premiere ligne

      {-4+8=0
        2 +4=1
donc
  10=1 d'où =0.1

je remplace 2*0.1+4=1 d'où =0.2

pour y2= ke^{[/sup]-F(t)
      y2=ke[sup]}-1/4t

    y1+y2= 0.2sin2t+0.1cos2t+ke[sup][/sup]-1/4t

je ne sait pas si c'est juste mais voila comment j'ai appris à le faire. Encore merci pour votre aide.

Solutions de l'équation avec second membre = 0:

y''+4y = 0
p² = -4
p = +/- 2i

y = A.sin(2t) + B.cos(2t)  
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Solution particulière de l'équation avec second membre:

de la forme y = (at+b).cos(2t) + (ct+d).sin(2t)

y' = a.cos(2t) -2(at+b).sin(2t) + c.sin(2t) + 2(ct+d).cos(2t)
y'' = -2a.sin(2t) - 2a.sin(2t) - 4(at+b).cos(2t) + 2c.cos(2t) + 2c.cos(2t) -4(ct+d).sin(2t)
y'' = -4(a+d+ct).sin(2t) + 4(c-at-b).cos(2t)

y''+4y = -4(a+d+ct-ct-d).sin(2t) + 4(c-at-b+at+b).cos(2t)
y''+4y = -4a.sin(2t) + 4c.cos(2t)
en identifiant avec: y''+4y = cos(2t), il vient:

a = 0
4c = 1   -> c = 1/4

on choisit b et d  comme on veut -> b = d = 0.

solution particulière: y = (1/4).t.sin(2t)
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Solutions générales de l'équation y'' + 4y = cos(2t):

y = A.sin(2t) + B.cos(2t) + (1/4).t.sin(2t)

A et B étant des constantes.
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Sauf distraction.