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Résoudre une équation et utiliser la divisibilité

Posté par
Nunusse
25-10-20 à 18:44

Bonsoir,

Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plaît avec un exercice de dm avec lequel j'ai énormément de difficulté. En effet celui-ci est composé d'une question. Je dois montrer que n2 -1 est divisible par 8 si n est un entier impair.

Merci d'avance de votre aide

Posté par
Leile
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 25-10-20 à 18:49

bonjour,

si n est un entier impair, il  peut s'écrire  2k+1  avec k entier relatif.

Posté par
ciocciu
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 25-10-20 à 18:51

salut
comment on écrit un entier impair?

Posté par
ciocciu
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 25-10-20 à 18:51

ah....raté .... salut Leile

Posté par
Nunusse
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 25-10-20 à 18:55

Je ne comprends pourquoi si n impaire il peut s'écrire 2k+1

Posté par
Leile
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 25-10-20 à 19:02

un entier pair est divisible par 2 , il peut s'écrire 2*k  soit  2k.

pour un impair, il faut que tu ajoutes 1, n'est ce pas ?

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 25-10-20 à 19:42

Bonsoir Nunusse,
pourrais-tu, s'il te plait, mettre ton niveau à jour dans ton profil, tu n'es plus en 4ème, merci.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
Nunusse
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 25-10-20 à 20:19

Ah oui en effet merci.

Posté par
Leile
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 25-10-20 à 20:26

as tu avancé dans ton exercice ?

Posté par
Nunusse
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 15:33

Bonjour,

Oui désolé j'avais un problème de connexion
J'ai remplacé la valeur de n par 2k+1, car n est impair, dans l'expression n2-1. J'ai donc (2k+1)2-1=4k2+2k.
Cependant je ne sais toujours pas comment montrer que cette expression est divisible par 8.

Merci d'avance.

Posté par
Nunusse
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 15:37

J'ai également factorisé cette expression ce qui me donne 4k2+2k=k(4k+2)

Posté par
Nunusse
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 17:28

Or si je prends par exemple k=1
cela me donne:
1*(4*1+2)=6
Or 6 n'est pas divisible par 8.

Pourriez-vous donc m'aider s'il vous plaît ?

Posté par
Leile
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 17:52


(2k + 1)²  - 1  =   ?  
montre comment tu développes ...

Posté par
Nunusse
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 18:01

Oui bien sûr:

(2k+1)2-1=4k2+2k+12-1=4k2+2k

Posté par
Leile
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 18:03

tu fais erreur

(a+b)²  =  a²  + 2ab  + b²

tu rectifies ?

Posté par
Nunusse
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 18:17

Ahh oui donc on a
(2k+1)2-1=4k2+4k

Posté par
Nunusse
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 18:19

Je factorise ce qui me donne
4k2+4k=k*(4k+4)

Posté par
Leile
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 18:23

tu factorises, c'est une bonne idée, mais tu peux factoriser par 4k, pas seulement par k

==>   ca donne    4k (k +1).
OK ?

on y est presque ...     as tu une idée pour montrer que c'est toujours divisible par 8 ?

Posté par
Nunusse
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 18:27

D'accord merci. J'utilise donc la propriété qui dit que si a divise b et que b divise c alors on a a qui divise c. Ici n'importe quelle nombre est divisible par 4 car le facteur est 4 multiplié par k. Or 4 divise 8. Donc si n est un entier impair alors n2-1 est divisible par 8.

Posté par
Leile
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 18:32

ce n'est pas parce que 4 divise 8 qu'un nombre sous la forme   4*a  est divisible par 8..
par exemple   12   n'est pas divisible par 8..

non, il faut plutôt te demander ce qui se passe si k est pair ?
alors k peut s'ecrire   2a   et   4k  s'ecrit  4 * 2*a   = 8a   ==> divisible par 8.
et si k  est impair ?
à toi !!

Posté par
Nunusse
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 18:48

oui mais k dans mon expression est quelconque. l'expression k(4k+4) m'a permis de remplacer n2-1 où n est un entier impair et k un entier appartenant à Z.

Posté par
Nunusse
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 18:48

même 4k(k+1).

Posté par
Leile
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 18:51

bien sûr, k est quelconque. C'est un entier : il est soit pair, soit impair.

Je t'ai montré que s'il est pair, alors  n²-1 est divisible par 8.

à toi de voir ce qui se passe quand il est impair..

Posté par
Nunusse
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 19:12

Si k est impair, il peut s'écrire 2a+1.
On a alors:
4*(2a+1)*(2a+1+1)= (8a+4)(2a+2) =16a2+16a+8a+8
=16a2+24a+8
=8(2a2+3a+1)

Donc divisible par 8.

Je pense avoir montre que n2-1 est divisible par 8 si n entier impair.

Posté par
Leile
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 19:24

oui,

quand un nombre s'écrit   4 * A * B ,
il suffit que A ou B soit pair pour que le nombre soit divisible par 8.
ici A = k    et B = k+1
si k est pair, on y est tout de suite.
si k est impair , alors   k+1 est pair, et on y est aussi.

C'est clair pour toi ?

Posté par
Nunusse
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 19:28

Oui super merci beaucoup. Je pense avoir un peu plus de facilité au prochain exercice qui est un peu dans le même style.

Bonne soirée et merci encore.

Posté par
Leile
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 19:30

je t'en prie, bonne soirée.

Posté par
carpediem
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 19:42

salut

maintenant que c'est fini ...

si n est impair alors n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1) est le produit de deux entiers pairs consécutifs

or un entier pair sur deux est multiple de 4 (il suffit de considérer la division euclidienne par 4)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Résoudre une équation et utiliser la divisibilité 26-10-20 à 20:49

Bonsoir,
Moi aussi je mets mon grain de sel :
Dans le message de 19h12 est écrit 4*(2a+1)*(2a+1+1)
Pour démontrer qu'il est divisible par 8, on peut factoriser le dernier facteur par 2.
4*(2a+1)*(2a+1+1) = (2a+1)(2a+2) = 4(2a+1)2(a+1) = 8(2a+1)(a+1)
de la forme 8N où N est un entier.



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