Niveau Maths sup

Reste d'un polynôme

Posté par
approximation 09-08-17 à 18:04

Bonsoir à tous,
Je suis actuellement bloqué à cet exercice :
Il demande d'abord de trouver le reste de la division de $(Xsin(n\theta ) + cos(n\theta ))^n$ par $X²+1$ .
Jusque là ça va, le reste étant de degré maximal égal à un, j'ai fait une égalité et évalué le polynôme en i. Le reste c'est $cos(n\theta ) + Xsin(n\theta )$

Maintenant il demande de trouver le reste de la division de $(Xsin(n\theta ) + cos(n\theta ))^n$ par $(X²+1)²$ .
J'ai donc essayé de faire comme avant en faisant une égalité, mais le reste ici est de degré maximal 3. Je ne peux qu'évaluer en i sinon j'ai d'autres inconnues qui apparaissent (quotient notamment), enfin je crois. Et là j'ai deux équations à quatre inconnues...

Je me suis dit que l'on pouvait peut être utiliser le résultat trouvé à la question précédente, par la méthode des divisions successives (diviser le quotient précédent par X²+1), mais cela ne semble pas mener non plus à grand chose.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Par avance merci

Posté par re : Reste d'un polynôme 09-08-17 à 18:32

Bonsoir !
Je pense qu'en prenant la dérivée de $A(X)=B(X)(X^2+1)^2+R(X)$ tu aurais quatre relations en $X=\pm i$ où ne figure pas le polynôme $Q$ .

Posté par re : Reste d'un polynôme 09-08-17 à 18:38

(isin(nt) + cos(nt))ⁿ = (exp(int))ⁿ = exp(in²t)

Posté par re : Reste d'un polynôme 09-08-17 à 18:51

Je n'avais pas pensé à dériver, merci!

Voici mes calculs plus en détail :
Je note le reste :
$a1X^3 + a2X^2 + a3X + a4$
J'évalue l'égalité en i ce qui me permet de trouver :

$\begin{cases} a3-a1 = sin(n\theta ) && a4 - a2 = cos(n\theta ) \end{cases}$

Le reste devient alors :

$a1X^3 + a2X² + ( sin(n\theta ) + a1)X + a2 + cos(n\theta )$

Je dérive ensuite le polynôme, puis j'évalue de nouveau en i, j'obtiens :
$\begin{cases} a1 = \frac{1}{2} * (sin(n\theta ) - ncos((n-1)\theta )) && a2 = \frac{1}{2} *nsin((n-1)\theta ) \end{cases}$

Merci!

Ethniopal, qu'est-ce que j'aurais pu faire avec cette égalité ?

Posté par re : Reste d'un polynôme 09-08-17 à 19:16

Le reste de la division de $(Xsin(n\theta ) + cos(n\theta ))^n par X²+1$ ne me parait pas être celui que tu indiques .

Posté par re : Reste d'un polynôme 09-08-17 à 19:49

$P(X)=(X\sin(n\theta ) + \cos(n\theta ))^n =\sum _{{k=0}}^{n}{n \choose k}\left ( \cos(n\theta ) \right )^{{n-k}}\left ( X\sin(n\theta ) \right )^{k},$

Sépare les puissances pairs et impairs. Remplace $X^2$ par $-1$ (c'est le calcul modulo $X^2+1$ )