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Niveau IUT/DUT
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Reste de division euclidienne polynome puissance n

Posté par
Bgr
16-02-15 à 14:53

Bonjour à tous, j'ai un exercice qui me donne du fil à retordre, voici l'énoncé:

Pour n 2, déterminer le reste de la division euclidienne de xn par x2-3x+2

J'ai tout d'abord essayé de faire la division euclidienne pour x2 et x3 en espérant que cela me donne une piste mais rien de bien concluant. Pourriez vous m'aider ?

Merci d'avance à vous.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Reste de division euclidienne polynome puissance n 16-02-15 à 15:09

Bonjour, Pose déjà xn = (x2-3x+2 )Q(x)+ ax + b

remplacer x par les deux valeurs qui annulent x2-3x+2 serait une bonne idée !

Posté par
Bgr
re : Reste de division euclidienne polynome puissance n 16-02-15 à 17:26

Je pose xn = (x2-3x+2 )Q(x)+ ax + b, je trouve les valeurs qui annulent x2-3x+2, ce sont 1 et 2.

Si je remplace x par 1, cela donne pour tout n, a + b = 1, serait-ce la réponse ou me serais je trompé dans mon raisonnement ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Reste de division euclidienne polynome puissance n 16-02-15 à 17:31

C'est pas fini, Il faut que tu trouves a et b. Remplace aussi x par 2, ça te fera une seconde équation en a et b.

Posté par
Bgr
re : Reste de division euclidienne polynome puissance n 16-02-15 à 18:53

En posant le système de deux équations je trouve:

a = (2n + 1)/3
b = (2n + 2)/3

Est-ce correct ?

Posté par
Armen
re : Reste de division euclidienne polynome puissance n 16-02-15 à 19:04

Tu n'as pas a+b=1 avec les valeurs que tu proposes.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Reste de division euclidienne polynome puissance n 16-02-15 à 19:04

ben non, je me demandes bien comment tu as trouvé ça ? si tu fais x = 1 puis x = 2 ça donne
a + b = 1
2a + b = 2n et si tu fais l'équation (2) moins la (1) ça donne a = 2n -1 et donc b = 2-2n

Posté par
Bgr
re : Reste de division euclidienne polynome puissance n 16-02-15 à 20:16

Je viens de trouver mon erreur, une bête erreur de précipitation ou d'étourderie, j'ai mes 2 équations :

(1) a  + b = 1
(2) 2a + b = 2n

J'ai cherché à isoler a et b dans (1) sauf qu'au lieu d'écrire
a = 1 - b et b = 1 - a
j'ai écrit a = b - 1 et b = a - 1

Du coup il suffit d'isoler correctement a et b dans la 1ère équation puis de les remplacer dans la 2nde, j'ai compris le raisonnement à suivre.

Un grand merci Glapion pour ton aide.

Posté par
ysnkrds
re : Reste de division euclidienne polynome puissance n 18-04-20 à 04:54

bonjours je peux savoir où t'avais trouvé cette exercice ?

Posté par
jokerlol77340
re : Reste de division euclidienne polynome puissance n 21-02-23 à 20:20

Bonjour, comment faudrait-il procéder si le polynôme diviseur n'admettait qu'une seule racine ?

Posté par
carpediem
re : Reste de division euclidienne polynome puissance n 21-02-23 à 20:43

le même principe si c'est x - 1 puisque le reste est alors une constante

si c'est (x - 1)^3 par exemple

ben il suffit d'écrire x^n = (x - 1 + 1)^n et développer à l'aide du binome de Newton ...

en prime tu as la division euclidienne complète (quotient + reste) ...

Posté par
jeanseb
re : Reste de division euclidienne polynome puissance n 24-02-23 à 18:50

Bonsoir

Il me semble que tu as une deuxième équation en dérivant l'égalité de départ, et en remplaçant x par la racine multiple, qui est aussi racine pour la dérivée.

Posté par
jeanseb
re : Reste de division euclidienne polynome puissance n 03-03-23 à 15:17

Par exemple: reste de la division de xn par x²-4x+4

x²-4x+4 = (x-2)²

xn = (x²-4x+4)Q(x)+ax+b  

pour x= 2:  2n= 2a+b    

En dérivant:

nxn-1 = [(x²-4x+4)Q(x)]' + a  

pour x=2:   n.2n-1= a  car 2 annule (x²-4x+4) et sa dérivée

d'où la valeur de b

Les calculs sont simples, niveau lycée.



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