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riemann-intégrable

Posté par simpson (invité) 11-08-07 à 14:06

Bonjour, j'ai un exercice en analyse « Riemann-intgrable » (niveau : début L3)
(a) montrer que IQ inter [0,1] n'est pas Riemann-intégrable.
(b) Soit f définie sur [0,1] par :
• f(x) = 0 si x n'appartient pas à Q
• Si x appartient à Q a pour écriture canonique x = p/q (donc avec pgcd(p,q) = 1), f(x) = 1/q.

Etudier la continuité de f. montrer que f est Riemann-intégrable, ainsi que la fonction g caractéristique de l'intervalle ]0,1]. Que peut-on dire de gof ?
Merci bcp pour votre aide.

Posté par
romure : riemann-intégrable 11-08-07 à 15:02

f n'est pas continue en \mathbb{Q}\cap[0,1] car, sinon elle serait continue en 1/q, q\in \mathbb{N}
et donc en prenant \varepsilon=\frac{1}{2q} dans la définition de la continuité,

il existerait \eta>0 tel que
   |x-1/q|\leq \eta \quad \Longrightarrow \quad |f(x)-f(1/q)| = |f(x)-1/q|\leq \frac{1}{2q}.

Or il existe un irrationnel x\in ]1/q-\eta,1/q+\eta[, et f(x)=0. Donc |f(x)-1/q|=1/q>1/2q.

Posté par
ottore : riemann-intégrable 11-08-07 à 16:07

Bonjour,
fixons epsilon > 0.
Que dire de l'ensemble des points x pour lesquels f(x)>epsilon ?

Ce qui prouve l'intégrabilité.
Une autre façon de procéder est de remarquer que l'ensemble des points de discontinuité de f est de mesure nulle (pas besoin de connâitre la théorie de la mesure pour définir les ensembles de mesure nulle).

Pour gof ce n'est pas difficile.

a+

Posté par simpson (invité)re : riemann-intégrable 11-08-07 à 20:37

merci à vous deux pour vos réponses.
romu, je crois que c'est le sens de la premiere question que je comprends pas ...
merci


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