Bonjour,
Je voudrais si possible avoir une justification mathématique et entièrement formelle (c'est à dire pas de: "c'est évident quand on fait le dessin" comme en Terminale) de l'assertion suivante:
zz0, [0,2[, >0, z=exp(i)
(Ce qui signifie que n'importe quelle nombre complexe non nul peut se mettre sous forme exponentielle).
Avec les considérations suivantes:
1) exp est définie à partir de la somme d'une série entière bien connue de rayon de convergence infini (soucis avec le latex pour afficher la formule veuillez m'excuser).
2) Pour tout a,b, exp(a+b)=exp(a)exp(b)
3) Peut-être que montrer: [0,2[ nécessite une analyse plus poussée ? Alors je suis prenneur si déjà
3) Ce qu'il faut d'autre pour prouver cela en citant les théorèmes utilisés,
Je vous demande donc de donner un schéma concis et surtout sans ARNAQUE de la démonstration ! Si vous connaissez un lien qui explique bien cela je suis prenneur bien entendu =)
Merci.
Salut !
ce que tu cherche à prouver c'est que l'exponentielle est surjective sur C*.
pour cela il y a plein de methode. certain tres élémentaire d'autre tres courtes utilisant des outil plus puissant.
pour une démo élémentaire et bien... il faut en gros faire une étude de fonction de sin et cos pour montrer que exp(iR) = U (la désolé mais j'ai pas vraiment le courage de recopier tous ca... c'est vraiment pastres pationant... regarde sur internet de chose sur la constructions de l'exponentielle tu trouvera surement des choses... )
en utilisant des outil plus puissant on pourait dire que :
la fonction exponentielle ainsi définit est entière donc d'apres le théorème de Picard, elle prend toute les valeur sur C sauf peut-etre une. hors exp ne s'anule pas (a cause de la formule pour exp(a+b)... ) donc exp est une surjection de C sur C*.
donc soit z un complexe quelconque z=exp(w)=exp(a+ib) =exp(a)*exp(ib) et hop tu pause p=exp(a) et theta = n et c'est finit.
pour le fait que theta est dans [0,2Pi[ est bien cela dépend pour beaucoup de la définition de Pi en fait...
il faut résoudre l'equation exp(z)=1
on montre à partir de ce que tu as donné que |exp(Z)| =exp(Re(Z))
donc exp(z)=1 => z=ib. et on définit Pi, par 2*Pi est la plus petite solution strictement positive de exp(ix)=1. a partir de la on en déduit que exp(a)=exp(b) si et seulement si a-b = 2ikPi (si tu définit Pi autrement et bien... ca dépend comment tu le définit, mais cette définition est la plus simple que je connaisse... )
tu en déduis donc que deux argument diffférent diffère de 2*k*Pi, et donc qu'il y en a un et un seul dans [0,2Pi[
ouai, ou on passe par une étude de fonction pour sin et cos définit comme les parti réel et imaginaire de exp(ix) : on calcule leur dérivé (pas trop dur... ) , on fait un tableau de variation et on en tire les propriété de surjectivité dont on à bessoin... c'est ce qu'on a fait ca en cours de math cette anné (en spé).
Merci à tous de m'avoir répondu. Je trouve cela dommage de ne pas avoir eu de véritable preuve de ce que je cherche. Bien entendu il semble que Ksilver connaît la réponse. Je trouve quand même cela un peu grave de ne pas comprendre ce que je fais, à quoi sert les maths si on peut affirmer tout et n'importe quoi ? L
j'essai de voir si je trouve cette démo sur internet. mais sans avoir recours a des choses évolué (comme avec le théorème de Picard, cf le post 18h10) les démonstrations que je connais sont assez longue est inintéressante... (enfin, a moins que tu aime faire des tableau de variation et des étude de fonction...)
Enfin voilà, ce que je veux dire c'est que certains nous disent que certaines choses sont évidentes sans nous donner le schéma de démonstration et nous fait croire ce qu'on veut. Serais-je simplement une personne naîve ? La science est-t elle réservée qu'à une minorité de personnes illuminées? La plupart des gens qui ont un eu leur licence de maths comprennent-t ils vraiment ce qu'ils font ? Ce que je veux dire par comprendre c'est de se donner (ou d'accepter en tant qu'élève):
1) des choses qu'on accepte comme vrai, on parle alors d'axiomes, si j'ai bien compris. Et dans le but de décrire certaines choses de la nature apparemment ça doit être plus ou moins intuitif sous peine d'être stérile (?).
2) Si on affirme quelque comme vrai alors on le montre en utilisant une suite finie d'étape non ?
Cependant, je ne remets pas en cause l'honneté intellectuelle des savants et des chercheurs. Mais je reste perplexe sur certains points parceque... tout simplement je ne comprend pas.
Il m'aura fallut du temps pour comprendre pourquoi le nombre
ne dépend pas du rayon du cercle alors que j'appliquais cela depuis mon enfance. Je peux aussi parler de cosinus et sinus qui m'ont causé du tord quand on les définis à partir de l'exponentielle alors ça m'avait été défini à partir du cercle trigonométrique (sous l'hypothèse que est une constante), et qu'on nous fait tourner en rond aprés sans se soucier de justifier...
Si je dis qu'il est évident que n'importe quelle nombre >3 pair est somme de 2 nombres premiers alors je pense que j'en énerverais certains... et bah là c'est pareil.
Ce que j'entend par vérité c'est surtout suivre une "logique déductive". Qu'on me définisse les nombres réels comme une coupure ou par des suites rationnels de Cauchy ça me va (mais on s'en tiens qu'à une !), ce n'est pas du tout le problème du moment que ça reste un minimum honnête.
Qu'on me dise que c'est évident que l'intégrale sur un segment représente l'aire (je dis oki, à priori c'est comme ça qu'on définis la chose dans le cour de terminale) et aussi que c'est évident que c'est une différence de primitives (alors là je dis que non c'est pas évident, même si c'est sûrement vrai).
ouai enfin, souvent le plus compliqué en math c'est de définir les objet et (en partant des axiomes) montrer les propriété de bases. c'est long compliqué et fastidieux...
c'est un peu comme ci avant de faire la trigonométrie en 3e on devait etuider les series de fonction pour définir sin et cos, ou si on avait bessoin d'etuides les coupures de Dekind avant d'introduire les réels... c'est pas faisable.
il y a parfois bessoin de s'appuyer un peu sur le travail qu'on fait les autres avant toi.
pour ce qui est d'axiomes ils sont absoluement néccesaire, "vrai" en math signifie "est une conséquence des axiomes". et ces axiomes sont en géneral des trivialité absolue qu'on ne peut pas concevoir faux, mais qu'il est totalement impossible de prouver... par exemple ils garantissent l'existence "d'ensemble", ou encore si on a deux element a et b alors l'objet couple (a,b) existe etc etc...
pour l'intégral, la sa touche à la définition de ce qu'est une surface ! (apres tous, comment définirait tu ce qu'est la surface sous la courbe ? ). en revanche, on a jammais du te dire que c'est "évident que l'intégral c'est la différence de deux primitive", cette propriété ce démontre (bien qu'elle dépende de qu'elle définition on à choisit de l'intégral...)
Désolé je pense que je me suis emporté. Je ne voulez pas faire passer l'idée qu'on devez nous enseigner les séries de fonctions en 3 ième loin de là... C'est justement parceque je suis en licence et donc plus adulte et qu'on me présente surtout ces notions que je me pose des questions et viens chercher du soutien ici.
Pour en revenir à mon problème initial, je pense avoir trouvé une réponse partielle à la question du début:
Soit z, alors a,b, z=a+ib
Alors pour ce z on a: e^z=e^(a+ib)=e^a*e^(ib)
Or la théorie des séries de fonctions nous assure que e^a>0
Et on a b
Ce qui montre l'existence de et
Ce qu'il reste à faire est le plus important à mes yeux, pouvons nous déduire que peut être choisit dans l'intervalle [0,2[ et qu'il en accord avec notre notion d'angle intuitive.
Je me lance donc on passe dans un premier temps les cas òu "on peut pas diviser comme on veut":
Soit d la droite qui passe par l'origine O et par notre point M d'affixe z: son équation est y=b/a*x
Soient A le point(complexe) d'affixe 1 et B le point d'intersection de la droite d avec le cercle unité (centre O et rayon 1) il n'est pas nécessaire de connaître l'affixe de ce point.
Sachant que notre longueur d'arc éventuelle serait définit par une intégrale, on paramétrise le cercle unité:
x(t)=(t²-1)/(t²+1) et y(t)=-2t/(t²+1) d'ou:
AB=\int_t0^{t1} f(t) dt avec f(t)=(x'(t)²+y'(t)²)^(1/2), to=-infini et t1=b/(a-1)
C'est à dire qu'il serait pas mal de montrer qu'il existe b modulo 2, [0,2[, =la longueur de l'arc de cercle unité notée AB
J'
Je ne comprend pas pourquoi le Latex marche pas avec moi, j'ai pourtant fait un copier/coller de certains scripts dans l'aide. Je n'arrive pas non plus à éditer mes messages. Si quelqu'un pouvait m'aider à faire cela car j'aimerai bien écrire les choses plus clairement que ça soit plus facilement compréhensible. Ca reseemble à pas grand chose mon intégral là :-/ Merci (Editer+Latex comment faire ça ?).
et on obtient:
z=a+ib, theta=[0,2[, b (2),
ici il faut lire -infini que +infini au niveau de la borne inférieure d'intégration.
Cela doit être vrai vu qu'on nous enseigne que le b c'est à dire le modulo 2 est la mesure de l'angle
Aprés calcul voilà ce que j'obtient:
On retrouve donc la dérivée de Arctan...
Qui correspond à la longueur de notre angle en radian. A-t-on ABb (2)
=- ici, problème avec le latex.
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