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Rn[X] est-il complet?
Bonjour je dois montrer que l'espace Rn[x] muni du produit scalaire (P,Q)=
[0,1]P(t)Q(t)dt est un espaca de Hilbert.
Pour cela je pensais utiliser le fait que Rn[x] est un sous espace vectoriel C(
) (les fonctions continues à valeurs dans ) et que le produit scalaire ci-dessus est un produit scalaire sur les fonctions continues à valeurs réelles.
Mais alors il faudrait ensuite que je puisse montrer que Rn[X] est fermé (ce qui impliquerait qu'en tant que sous espace vectoriel fermé d'espace de Hilbert alors il est complet donc lui même un espace de Hilbert muni de ce produit scalaire)
Suis-je en train de me tromper?
Si non dois admettre que la limite d'un polynome est dans n[X] où alors suis-je totalement en train de m'égarer?
Merci d'avance !
Bonsoir.
En principe, tu dois avoir dans ton cours un théorème qui dit que tous les espaces normés de dimension finie sont complets.
Dans la démarche que tu proposes, il y a un problème de taille : n'est pas complet pour ce produit scalaire ! Et donc n'est pas un espace de Hilbert. En particulier, montrer que
est fermé
ne prouvera rien ...
Si tu ne disposes pas du théorème dont je t'ai parlé, tu peux prouver que une suite de
converge vers le polynôme
si et seulement si tous les coefficients de
convergent vers les coefficients de
. (et que la suite est de Cauchy si et seulement si toutes les suites de coefficients sont de Cauchy)
Merci je sentais bien qu'il y avait un os quelque part, il m'est difficile de manipuler des notions tels que des espaces complet.
Non je n'ai pas le théorème mais je suppose qu'il aurait du être acquis, merci beaucoup en tout cas ! Bonne soirée
Salut
Si E est un espace vectoriel normé, alors :
si , alors E est toujours complet
si , alors E est toujours complet
dans les autres cas, ça dépend de la norme
Il y a un résultat qui dit qu'un espace qui possède une base algébrique infinie dénombrable n'est jamais complet. (conséquence du lemme de Baire, mais il existe une preuve élémentaire)
Donc on ne peut pas munir d'une norme qui le rende complet.
Enfin, pour , j'ai dit une bêtise, j'avais en tête l'ensemble des applications qui s'annulent en dehors d'un ensemble fini. (ce qui correspond du coup à un espace du genre
)
Néanmoins, je reste sceptique quant au fait qu'il soit toujours complet ...
En dimension infinie, ça dépend de la norme choisie.
Arg, mauvais copier/coller.
Si E est un espace vectoriel normé, alors :
si
si
dans les autres cas, ça dépend de la norme
Comment montre-t-on que n'est jamais complet ?
A priori, une base algébrique ne sera pas dénombrable, donc je ne vois pas très bien ...
On prend un espace vectoriel normé de dimension dénombrable, et
une base de E, et on suppose
complet.
Alors .
Les sont des sous-espaces vectoriels de dimension finie, donc ce sont des fermés. Mais d'après le corollaire du théorème de Baire (effectivement il intervient), un des
est d'intérieur non vide et il contient donc une boule ouverte, mais comme il s'agit au moins du plus petit sous-espace vectoriel engendré par cette boule ouverte, c'est qu'on a précisément
. Mais on aurait alors
, ce qui est contradictoire.
Bonjour
Oui, mais n'est pas de base dénombrable... C'est l'ensemble de toutes les suites réelles... pas l'ensemble des polynômes qui correspond à des suites n'ayant qu'un nombre fini de termes non nuls! J'avoue n'avoir pas sous la main une norme qui le rende complet, mais je suis intimement persuadée que ça doit exister!
Bonsoir Camélia.
Moi aussi, je peine à trouver une norme qui rende complet cet espace, mais je suis convaincu qu'il en existe une.
Est-ce qu'on ne peut pas prouver qu'il est (algébriquement) isomorphe à un espace bien connu, du type , et ainsi transporter la norme ?
(il me semble (sans certitudes) que les deux espaces ont une base algébrique qui a la puissance du continu, donc ça doit être possible)
Si on cherche juste une norme, sans se soucier de savoir si elle rend l'espace complet, alors tout espace vectoriel admet une norme.
Il suffit de considérer une base de l'espace
. (l'existence d'une base est donnée par l'axiome du choix)
Si , on note
ses coordonnées dans la base. Par définition d'une base algébrique, on sait que tous les
sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux.
On pose alors . Cette quantité est bien définie, puisque seulement un nombre fini de
est non nul.
On vérifie qu'on a bien une norme.
En fait, l'argument d'Arkhnor suffit. est un espace vectoriel de base équipotente à R. On connait sur un espace du même type une norme qui le rend complet
, donc il n(y a qu'à transporter.
Surtout je me suis convaincue qu'on ne peut guère espérer mieux. Si on commence par "on choisit une base de [tex]R^N/tex]", on a déjà perdu toute la "concrétude" vu qu'on sait que ça existe, mais qu'on ne sait pas en exhiber une...
Bien sur si quelqu'un sait mieux faire, je prends!
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