Bonjour à tous,

Voici l'énoncé d'un exo pour lequel j'ai besoin de votre aide :
SOAB est un tétraèdre ; la droite (OS) est orthogonale au plan (OAB),
et le triangle OAB est rectangle isocèle en O ;
de plus OS = 3 ; OA = OB = 4.
M est un point de l'arête [AB] ; H est le projeté orthogonal de M sur
(OA), K celui de M sur [OB]. On pose OH = x.

1)Démontrer que les faces latérales de la pyramide SOHMK sont des triangles rectangles.
J'ai répondu :
La droite OS est orthogonale au plan (OHK), donc OS et OH d'une part,
et OS et OK d'autre part sont orthogonales. On peut donc conclure
que les triangles SOH et SOK sont rectangles en O.
De même, KM et HM sont respectivement orthogonales aux plans (SOK) et
(SOH), elles sont donc respectivement orthogonales à SK et SH. On
peut donc conclure que les triangles SHM et SKM sont respectivement
des triangles rectangles en H et en K.

Est-ce que cela convient ?

2) a)Exprimer HM en fonction de x
Je pense qu'il faut utiliser Thalès dans le triangle OAB.
Ce qui permettrait de poser :
HM/OB = AH/AO = AM/AB
Pour pouvoir retrouver x, on remplace AH par OA - OH
Ce qui donne HM/OB = OA-OH/AO
HM = (OA-OH/AO) * OB =
[(4 - x) / 4]* 4 = 4 - x
HM serait donc égale à 4 - x


b) On note V(x) le volume de SOHMK.
Démontrer que V(x) = 4 - (x - 2)^2
V(x) = [SO*OH*HM]/3
= [3 * x *(4-x)]/3 = 4x-x^2
et là je suis coincée je n'arrive pas à trouver le résultat demandé

3) Comment choisir le point M sur [AB] pour que V(x) soit maximal ?
Quelle est alors la nature du quadrilatère OHMK ?
Comment puis-je faire ?

Je sais que cet exo est long à lire, mais vraiment j'ai besoin de votre
aide pour pouvoir le terminer. Merci d'avance à tous.