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Niveau terminale
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Section plane d'un tétraèdre

Posté par
Xeos
11-02-24 à 11:11

Bonjour , pouvez-vous m?aidez en maths s?il vous plaît ?
Merci d?avance .


a. Placer les points E et F sur la figure.
b. Soit I le milieu de [BC] et J le milieu de [CD].
Montrer que les points D, G et I sont alignés puis que les points
B, G et J sont alignés.
c. Placer le point G sur la figure.
3. Le but des questions suivantes est de construire la section
du tétraèdre ABCD par le plan (EFG).
a. Justifier que (EFG) coupe (ABD) selon la droite (EF).
b. Pourquoi est-il nécessaire de déterminer un deuxième point
d'intersection entre les plans (EFG) et (ABC) ?
4. On définit le point H par l'égalité: AH-3BH-3CH = 0.
a. À quel plan appartient le point H? Justifier.
b. Exprimer EF, EG et EH dans la base (AB, AC, AD).
c. En déduire que les points E, F, G et H sont coplanaires.
5. a. Dessiner la droite d'intersection entre (EFG) et (ABC).
Cette droite coupe (BC) en K.
b. En déduire les droites d'intersection entre (EFG) et (BCD)
puis entre (EFG) et (ACD).
c. Tracer en rouge la trace de la section du tétraèdre ABCD
par le plan (EFG).

Voici ce que j?ai essayé :

2b) GB+GC+GD=GI+IB+GI+IC+GD
GD= -2GI car I est le mileu de BC donc s?annulent , ainsi G,D et I sont alignés car expression est colinéaire.

GB+GJ+JC+GJ+JD<=>GB= -2JG donc G,J et B sont alignés car expression est colinéaire.

3a)E est situé sur (AB) et F est situé sur (AD) . (EF) est contenue dans( ABD ), donc (EFG) coupe (ABD) selon (EF).

3b) Il faut déterminer un deuxième point d?intersections car (EFG) coupe les trois autres faces et l?intersection de ( EFG) et (ABD) ne suffit pas pour déterminer la section du tétraèdre.

4a) Les vecteurs AH,BH et CH appartiennent au même plan (ABC) donc le plan contenant ces vecteurs est le même que celui auquel appartient le point H.

4b) EH = AE-AF
= 1/3AB-1/3AD

EF= AG-AE
=-1/3AB

EH= AH-AE
=3BH+3CH-1/3AB

4c) je bloque parce que je veux montrer qu?ils sont colinéaire en faisant une combinaison linéaire mais je n?y arrive pas.


5b) la droite d?intersection pour (EFG) et (ABC) est ( EF).
La droite d?intersection pour (EFG) et (ACD) est (KG)

Section plane d\'un tétraèdre

* Modération > image tournée *

Posté par
tetras
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 11:31

bonjour
c'est quoi les points E,F et G?

Posté par
malou Webmaster
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 11:48

Xeos ne comprend peut-être pas son exercice car il n'a pas vu qu'un exercice commence avant les questions !

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 12:18

J'ai oublié de préciser que : AE=1/3AB, AF= 3/4AD et GB+GCGD=0.

malou @ 11-02-2024 à 11:48

Xeos ne comprend peut-être pas son exercice car il n'a pas vu qu'un exercice commence avant les questions !

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 12:19

malou @ 11-02-2024 à 11:48

Xeos ne comprend peut-être pas son exercice car il n'a pas vu qu'un exercice commence avant les questions !


Que voulez vous dire par la ?

Posté par
tetras
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 14:03

Citation :
GB+GJ+JC+GJ+JD<=>GB= -2JG


c'est plutôt \vec{GB}=-2\vec{GJ}=2\vec{JG}

Posté par
tetras
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 14:33

Citation :
EF= AG-AE
=-1/3AB


ça voudrait dire que F [AB]?

j'ai trouvé \vec{EF}=\frac{-1}{3}\vec{AB}+\frac{3}{4}\vec{AD}

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 14:47

Bonjour à tous,
Je me permets d'intervenir juste pour suivre ce fil.
Bien entendu, j'attends que les échanges soient terminés avec tetras pour éventuellement faire un commentaire.
Bonne continuation à vous deux !

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 15:35

**citation inutile supprimée**

Comment avez-vous fait parce que je ne comprend pas à quelle moment vous trouvez 3/4 AD

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 16:12

Bonjour Xeos,
En l'absence de tetras qui ne semble pas connecté, je te réponds :

 \overrightarrow{EF}= \overrightarrow{EA}+ \overrightarrow{AF} (avec Chasles)

Or  \overrightarrow{EA}=- \overrightarrow{AE} ainsi que  \overrightarrow{AF} sont connus (voir ton énoncé)

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 18:17

**citation inutile supprimée**

Ah d?accord , merci beaucoup.
Est ce que EG est correcte alors ? Et si oui, je ne trouve la colinéarité permettant de prouver que E,F,G et H sont coplanaires.

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 18:36

Citation :
Est ce que EG est correcte alors ?


Euh ... A aucun moment je n'ai vu \overrightarrow{EG} exprimé dans le repère (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})
Pour information, \overrightarrow{EG}=\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}
C'est à toi de le prouver

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 19:29

**citation inutile supprimée**

Êtes vous sur que EG =1/3 AC + 1/3AD et pas EG= 1/3AC +1/3 AD

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 19:59

Je ne suis "sûr" de rien.
Mais en l'occurrence :

Citation :
Êtes vous sur que EG =1/3 AC + 1/3AD et pas EG= 1/3AC+1/3 AD

Je n'ai aucun doute !

Posté par
malou Webmaster
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 20:01

Bonjour à vous deux

Xeos @ 11-02-2024 à 19:29

lake @ 11-02-2024 à 18:36

Citation :


Êtes vous sur que EG =1/3 AC + 1/3AD et pas EG= 1/3AC +1/3 AD




c'est moi ou c'est écrit exactement la même chose ?

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 20:04


Bonsoir malou

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 21:07

**citation inutile supprimée**

Je voulais dire 1/3Ac + 1/4 AD , Je m?excuse pour toutes les fautes d?étourderie.
Mais je ne comprends pas comment vous arrivez à ce résultat j?ai essayé Mais je ne comprends pas comment vous faites.
Les seuls possibilités que j?obtiens sont EG= EA+ AH  , je ne vous pas d?où peut venir AC

Posté par
tetras
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 21:11

Bonjour à tous
cette fois c'est moi qui attends le retour de lake
mais ce que tu écris est faux : EA+AH=EH et pas EG

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 21:26

**citation inutile supprimée**
Désolé j?ai encore fais une faute de frappe je voulais écrire EG= EA+ AG.

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 22:21

Bonsoir à tous,
Je commence  à être un petit peu à l'ouest moi aussi un petit peu par ma faute : je n'aurais jamais du intervenir.
Néanmoins,  je vois ceci :

Citation :
cette fois c'est moi qui attends le retour de lake

qui m'encourage à poursuivre.
Si j'ai bien suivi, nous en sommes à l'écriture de \overrightarrow{EG} dans le repère (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})
Par définition, \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}, et G est l'isobarycentre des points B,C,D
 \\
Le cours nous indique que pour tout point M du plan BCD :
\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=3\overrightarrow{MG}
Avec M=A, on a \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}
On en déduit que \overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}
Reste H défini par : \overrightarrow{AH}-3\overrightarrow{BH}-3\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{0}
H est le barycentre du système \{(A,1);(B,-3);(C,-3)\}
Toujours pour les mêmes raisons (le cours) pour tout point M du plan ABC, on a :
\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=-5\overrightarrow{MH}
Avec M=E (je te laisse faire) on obtient après calculs:
\overrightarrow{EH}=\dfrac{4}{15}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}

On peut enfin vérifier que :

\overrightarrow{EH}=-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{EF}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow{EG}
qui prouve que les points E,F,G,H sont coplanaires.
Je n'ai toujours pas "commenté" ton exercice. Je t'invite à revenir ici (beaucoup) plus tard pour en découvrir un nouvel aspect

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 22:41

**citation inutile supprimée**

Tout d?abord, je vous remercie tous pour votre temps et investissement pour l?aide que vous m?avez fourni.
Cependant, y?a t-il une autre solution que l?utilisation du barycentre car on ne l?a pas vu en cours et je doute que ma professeur nous aurait donné un exercice où l?utilisation du barycentre est demandé.
Merci pour vos réponses

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 22:58

Là, tu me fiches carrément un "coup de bambou".

Citation :
... l'utilisation du barycentre car on ne l'a pas vu en cours...

Tu es en terminale, soit. Mais en 1ère on t'a certainement parlé des barycentres et de leurs propriétés (que j'ai utilisées ici).
Un cursus normal de lycéen aboutit à une somme de connaissances acquises en seconde, 1ère et terminale.
Quand on est en terminale, il faut absolument se souvenir des notions acquises dans les classes précédentes.
Sinon, à quoi sert l'école ?

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 23:05

**citation inutile supprimée**

Le barycentre n?est plus au programme de seconde ni de terminale

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 23:16

Je ne suis pas au courant des programmes  :

Citation :
Le barycentre n'est plus au programme de seconde ni de terminale

Mais tout de même, en 1ère ???
Non plus ?

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 11-02-24 à 23:54

**citation inutile supprimée**
Oui , il n?était qu?au programme de 1ere mais plus maintenant.

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 00:08


Il faut vraiment te "tirer les vers du nez".
Donc tu connais et il n'y a pas de problèmes.
J'ai cru un moment que tu voulais nous arnaquer.
Je constate avec satisfaction qu'il n'en est rien.
Bonne suite (et nuit)

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 00:50

**citation inutile supprimée**
Pourquoi je chercherais à vous arnaqué ? Je viens de faire une recherche sur Google pour savoir s?il était au programme ( ou si c?est moi qui n?ai pas écouté en cours) mais ils s?avèrent que depuis 2020, les barycentres ne sont plus au programme de première. Je cherche simplement de l?aide pour mon exercice mais j?ai l?impression que vous ne me croyais pas.

Posté par
malou Webmaster
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 09:02

reBonjour à vous deux,
eh oui lake, plus de barycentre...

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 13:44

Ah! Merci malou; on n'arrête pas le progrès ...
>>Xeos
Plus de barycentres donc.
Je te redonne les 3 relations que tu as à prouver :

\begin{cases}\overrightarrow{EF}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\\\overrightarrow{EG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\\\overrightarrow{EH}=\dfrac{4}{15}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}\end{cases}

Il n' y a plus que Chasles. Par exemple pour la dernière, on repart de la définition :
\overrightarrow{AH}-3\overrightarrow{BH}-3\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{0}

On commence par faire  intervenir E avec Chasles puis on continue toujours avec Chasles pour tenter de faire apparaître les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}

Pour conclure quant à la coplanéité des points E,F,G,H, il est facile de vérifier que :
  
\overrightarrow{EH}=-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{EF}+\dfrac{9}{5}\overrightarrow{EG}

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 13:53

Pour la suite (la figure et la section) il faut reporter le point H

On a \overrigharrow{IH}=\dfrac{1}{5}\overrigharrow{AI}  (facile à prouver).

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 13:54

Zut !

  

Citation :
On a \overrightarrow{IH}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AI}

Posté par
tetras
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 14:41

pour trouver \vec{EG} en fonction de \vec{AC} et \vec{AD}

pars de  GB+GC+GD=0.
en utilisant Chasles "introduis" le point E dans chacun de ces 3 vecteurs en n'utilisant que les vecteurs \vec{AB},\vec{AC} et \vec{AD}
tu trouveras l'égalité donnée par lake

Posté par
tetras
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 14:46

et on sait que \vec{EA}=\frac{-1}{3}\vec{AB}
ça te servira

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 15:23

Bonjour à tous,
Je pense qu'avec notre aide (en particulier tetras ), Xeos est maintenant en mesure de compléter sa figure de tétraèdre du fil original avec la section du plan EFG.
Évidemment le point H est crucial.
J'attends cette figure que je ne manquerai pas de commenter

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 15:38

Je tiens tout de même à présenter mes excuses à Xeos pour avoir douté de sa bonne foi :
Les barycentres disparus des programmes au lycée ? Allons donc !
malou m'a heureusement mis les points sur les i : c'est hélas un fait avéré
Je ne connais pas grand chose aux programmes ...

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 16:46

Bonjour à tous, j?ai enfin trouvé la bonne méthode pour déterminer les vecteurs, merci.
**citation inutile supprimée**

Je n?arrive pas à trouvé les coefficients de la combinaison .
J?ai essayé de partir de EH= xEF+yEG
Mais je bloque au développement.
Par ailleurs, quelqu?un a fait la figure de l?exercice et la position de son H appartient à la droite DC.  Est ce correcte ou je n?ai juste pas compris ?

Section plane d?un tetraedre

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 16:49

D'ailleurs voici ma figure ,

Section plane d?un tetraedre

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 16:57

Bonjour Xeos

Citation :
Je n'arrive pas à trouvé les coefficients de la combinaison .
J'ai essayé de partir de EH= xEF+yEG


Une simple vérification suffit; j'ai écrit au dessus :

Citation :
\overrightarrow{EH}=-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{EF}+\dfrac{9}{5}\overrightarrow{EG}


Il te suffit de vérifier cette égalité et c'est gagné !

Citation :
Par ailleurs, quelqu'un a fait la figure de l'exercice et la position de son H appartient à la droite DC.  Est ce correcte ou je n'ai juste pas compris ?


Il y a un (ou des) problème(s).
En aucun cas le point H n'est un point de (DC)
 \\
Comme écrit au dessus avec la définition de H :

Citation :
\overrightarrow{AH}-3\overrightarrow{BH}-3\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{0}


il suffit de faire intervenir le point I avec Chasles pour obtenir :
\overrightarrow{IH}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AI}

Ce qui indique entre autre que les points A,I et H sont alignés.


  

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 16:59

Sur ta dernière figure, ton point H est bien sur la droite (AI) mais mal placé :

Citation :
\overrightarrow{IH}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AI}

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 17:01

... et curieusement ta section semble  correcte

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 17:07

... enfin "presque" correcte

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 17:08

**citation inutile supprimée**

Je dois faire simplement -4/5(-1/3AB+3/4AD)+ 9/5(1/3AC+1/3AD) =EH ?

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 17:11

Oui une vérification en sachant que :

\overrightarrow{EH}=\dfrac{4}{15}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}
 \\

  

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 17:15

Et la, mon point H est bien placé ?

Section plane d?un tetraedre

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 17:23

Par rapport à A et I, oui : ton point H est bien placé.

Mais il y a quelque chose qui ne va pas dans ta figure :
Ton point I n'est plus le milieu de l'arête [BC] \\
J'ai un torticolis

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 17:29

**citation inutile supprimée**
Désolé pour l?image à l?envers, quand vous voulez dire que I n?est plus milieu de BC, vous voulez dire que j?ai mal placé I ?

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 17:32

Mais oui ! D'après ton énoncé, I est bel et bien le milieu du segment [BC] et sur ta figure, hum ...

Posté par
malou Webmaster
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 17:35

Xeos, s'il te plaît, peux-tu arrêter de citer systématiquement le message qu'on a tous sous les yeux juste au dessus.

Posté par
Xeos
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 17:42

J'ai vérifié avec la règle, normalement la tout est bon.Section plane d?un tetraedre

Posté par
lake
re : Section plane d?un tetraedre 12-02-24 à 17:49

Pas encore : ton point H est mal placé par rapport à  A et I

avec \overrightarrow{IH}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AI}, il n'est pas du "bon côté" de l'arête [BC]
Je m'étonne de voir d'ailleurs ton point K tout à fait bien placé

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