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Semi-continuité inférieure de la variation totale
Bonjour tout le monde,
On définit la variation d'une fonction f intégrable (au sens de Lebesgue) sur [0, 1] par , où la borne supérieure est prise sur l'ensemble des subdivisions {x0 = 0 < x1 < ... < xn = 1} de l'intervalle [0, 1]. Pour une classe de fonctions f
L1 [0, 1] (donc une classe modulo l'égalité presque partout), on prend . On note BV[0, 1] l'espace des classes f
L1 [0, 1] telles que , et on le munit de la norme
.
On se donne une suite (fn) bornée de BV[0, 1], convergeant en norme L1 vers une fonction f L1 [0, 1]. Je cherche à démontrer qu'on a alors f BV[0, 1], et que .
Ma première idée pour démontrer l'inégalité avec la lim inf a été d'exprimer la variation d'une fonction f comme la norme d'une forme linéaire sur C0 [0, 1] : ,
où est une intégrale de Stietjes.
L'ennui c'est que lorsqu'on considère une classe f L1 [0, 1] la forme linéaire ainsi obtenue dépend du représentant choisi. J'ai pensé au lemme de Fatou, mais je ne sais pas trop comment on pourrait l'appliquer ici.
J'ai aussi essayé d'utiliser la formule de l'IPP pour les intégrales de Stietjes : , mais là encore on est embêté car les termes f(0) et f(1) dépendent évidemment du représentant de la classe f
L1 [0, 1]. Toutefois j'ai espoir qu'on puisse démontrer quelque chose du genre , car alors on serait débarrassé de la dépendance au représentant de la classe de f ?
Si quelqu'un a des suggestions je suis preneur ! Merci d'avance.
C'est presque ça. Tu peux prendre les de classe
nulles sur le bord, ou à support compact et faire la même chose, ce qui annule les termes où f(0) et f(1) apparaissent et constater que la mesure que tu cherches est f', la dérivée de f au sens des distributions. Ensuite, je pense qu'il s'agit d'appliquer le lemme de Fatou avec une suite de Cauchy pour en déduire la semi-continuité.
Tu dois aussi pouvoir t'en sortir plus facilement parce que [0,1] est un ensemble compact, donc les foncctions à variation bornée sont exactement les différences de deux fonctions (strictement) croissantes
Bonjour Ulmiere,
Merci beaucoup pour ta réponse. Cependant je me demande, pourquoi on peut prendre le sup sur les nulles au bord ?
Rebonjour 
Je me rends compte d'ailleurs que si l'on pouvait prendre le sup en se restreignant aux fonctions nulles au bord, alors la variation serait indépendante du représentant de la classe
, ce qui n'est pas le cas...
Pour le côté C1 (ou même C
si on veut) pas de souci, on utilise la densité de C1 [0, 1]. Pour moi c'est vraiment le fait de restreindre le sup aux fonctions nulles sur le bord qui pose problème (vu que cet ensemble n'est pas dense dans C0[0, 1]).
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