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Semi convergence Uniforme et permutation.
Bonsoir !
en repensant a ce qu'on a fait en cours sur les series il y a une petit curiosité qui m'est venu à l'esprit.
on ce donne sigma fn, une seri de fonction continue convergent Uniformement, mais pas Absoluement.
(par exemple fn(x)=(-1)^n/(x+n), ou fn(x)=(-1)^n/(x+ln(n)) )
que ce passe t'il si on permute l'ordre des termes de la series ?
on sait que pour une serie numerique semi-convergente simga Un, pour tous x reel (eventuellement infinie d'ailleur) il existe une application phi bijective de N dans N telle que sigma Uphi(n) converge vers x.
si on fait pareil avec notre seri de fonction. sigma fn converge uniformement, donc la limite est continu, en permutant l'ordre des termes on peut choisir de facon arbitraire la valeur de la somme en un point, une fois qu'on a fait cela, quand est t'il des valeurs prises par la somme sur le reste de l'ensemble de definition (sachant que la somme est continu ca ne peut pas etre completement quelconque ! ) ?
enfait j'aimerai essayer de voir si il est possible de preciser l'ensemble des fonctions qui sont sommes des fphi(n) pour phi une application bijective de N dans N (eventuellement sur un exemple de serie de fonction particulier...)
quelqu'un à une idée sur la question ?
Bonjour Ksilver
D'abord ça le fera remonter!
En fait, je me suis demandée si en faisant une permutation pour obtenir une somme donnée en un point, on conservait la convergence uniforme. Il me semble bien que oui, grace au critère de Cauchy (Augustin, pas celui d'ici, qui s'appelle peut-être aussi Augustin?) pour la convergence uniforme. La somme est donc bien continue. Le plus étonnant est que si l'on fait une permutation qui fait diverger vers +
en un point, on dirait bien que ça va tendre vers + en chaque point!
je ne vois pas trop ce que l'on peut espérer de plus, dans le cas de convergence!
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