salut
moi j'a une méthode qui revient au mm que la tienne
tu dis a<b<-1 et tu calcules f(a)-f(b)=......tu factorises et tu trouves le signe

Bonjour,

Pour la première fonction f :
1) -2(x-1)²+k=-2(x²-2x+1)+k=-2x²-4x-2+k. Il faut donc que -2+k=1, soit k=3. Pour ça, c'est ok.
2) Tu as la bonne méthode ici oui.
3) même méthode :
sur ]-;-1] :
a<b<-1 donc a-1<b-1<-2 donc a-1<b-1<0 donc (a-1)²>(b-1)² (car les carrés sont rangés dans l'ordre inverse pour les nombres négatifs.
Ainsi, -2(a-1)²<-2(b-1)² donc -2(a-1)²+3<-2(b-1)²+3. Donc f est croissante sur ]-;-1].

Pour la deuxième fonction f :
1) 2(x-2)²+2=2(x²-4x+4)+2=2x²-8x+8+2=f(x). pour ça, c'est Ok aussi.
2) Toujours la même méthode que précédemment,
On prend 0<a<b<2 donc -2<a-2<b-2<0 donc (a-2)²>(b-2)² donc 2(a-2)²>2(b-2)² donc 2(a-2)²+2>2(b-2)²+2 donc f est décroissante sur [0;2]
Toujours la même méthode sur [2;+[ ... à toi maintenant
3) le tableau de variation est constitué de deux lignes, la première ligne correspond aux valeurs de x et la deuxième ligne correspond aux variations de x : ainsi, il faut indiquer entre quelle et quelles valeurs de x, on a f croissante et même chose pour f décroissante. Relis ton cours et tes exercices, normalement, tu en as déjà fait.
4)Un extremum veut dire "minimum ou maximum". Ainsi, si tu regardes bien le tableau de variation, tu vois que la fonction est décroissante puis croissante, essaie de dessiner rapidement ce que cela veut dire.... tu trouveras donc un extrémum ...

Bon courage.
ManueReva

Merci ManueReva

Mais voici ce que tu as noté :
sur ]-l'infini;-1] :
a<b<-1 donc a-1<b-1<-2 donc a-1<b-1<0 donc (a-1)²>(b-1)² (car les carrés sont rangés dans l'ordre inverse pour les nombres négatifs.
Ainsi, -2(a-1)²<-2(b-1)² donc -2(a-1)²+3<-2(b-1)²+3. Donc f est croissante sur ]-;-1].

Moi j'ai pensé à la même chose mais f(x)= -2(x+1)²+3
a<b<-1 donc a+1<b+1<0 mais je ne connais pas la propriété des inverses pour les carrés. Ca serait quoi comme propriété énoncé ?

Merci

Ah oui, en effet, je me suis trompée. Cela ne change pas grand chose, on a toujours des nombres négatifs ...
En fait, pour la fonction carré :

Si 0<a<b, on a a²<b² car la fonction carré est croissante sur [0;+infini[
Si a<b<0, on a a²>b² car la fonction carré est décroissante sur ]-infini;0]

Ce qui peut se dire :
Pour deux réels positifs, leurs carrés sont rangés dans le même ordre que les deux réels.
Pour deux réels négatifs, leur carrés sont rangés dans l'ordre inverse des deux réels.

J'espère que cela t'a aidé.

Ah oui ok donc dans mon exemple, ca serait :

a<b<-1; a+1<b+1<0 ; a et b étant des réels compris entre [-infini;-1] donc négatifs donc on peut appliqué cette règle : Pour deux réels négatifs, leur carrés sont rangés dans l'ordre inverse des deux réels (a+1)²>(b+1)² ; -2(a+1)² < -2(b+1)² ; -2(a+1)²+3 < -2(b+1)²+3 donc f(a)< f(b) donc croissante

Est ce que c'est bien ça ?

Merci
Sg94

Oui, à un chouilla près (mais qui a son importance)

a<b<-1; a+1<b+1<0 ; (a+1) et (b+1) étant des réels compris entre ]-infini;0] donc négatifs donc on peut appliquer cette règle : Pour deux réels négatifs, leur carrés sont rangés dans l'ordre inverse des deux réels (a+1)²>(b+1)² ; -2(a+1)² < -2(b+1)² ; -2(a+1)²+3 < -2(b+1)²+3 donc f(a)< f(b) donc croissante

Ah oui bien vue, a et b étant comrpis entre ]-infini;-1] au début si je fais a+1<b+1<0 j'arrive à ]-infini;0].

Merci
Sg94

j'avoue que  mon "Pour deux réels négatifs, leur carrés sont rangés dans l'ordre inverse des deux réels" n'est pas génial, tu peux directement dire que la fonction carré est décroissante sur ]-infini;0] (si tu l'as vu en cours, bien sûr) et cela suffit car cela veut dire la même chose.

Oui mais si je ne l'ai pas encore vue en cours ca ne m'empêche pas d'utilisé la première règle...

Ok merci de ton aide, ca m'a aidé.

J'ai un autre problème, à chaque fois que je résouds un exo, et qu'on demande la calculette on demande de Démontrer la conjecture, je n'ai jamais compris comment on fesait.

Exemple : Soit la fonction f défini sur R par : f(x)=(6x+6)/(x²+3)

En observant sa courbe représentative sur l'écran d'une calculatrice, quel semble être le maximum de cette fonction sur R ? Pour quel valeur de la variable semble-t-il être atteint ? Valider la conjecture.

Des expliquations seraient les bienvenues.

Merci à tous et à toutes.

Personne n'a d'idées ?

Rebonsoir,

Si tu vois sur ta calculatrice que la fonction f admet un maximum (elle fait une "bosse"). Par exemple, ce maximum est atteint en x=a et vaut f(a).
Pour montrer que la fonction admet bien un maximum en ce point, tu as (pour l'instant) deux méthodes :
- 1ere méthode : tu montres que pour tout x de R (car c'est un maximum sur R) f(x)<f(a), c'est-à-dire f(x)-f(a)<0. il faut calculer f(x)-f(a), factoriser et étudier le signe ....
- 2e méthode : tu montres que f(x) est croissante sur ]-infini;a] et décroissante sur [a;+infini[. Ainsi, en traçant le tableau de variation, tu vois que f admet un maximum en x=a qui vaut f(a) (cf. ma première explication pour le 4) de l'exercice).

vu la "tête" de ta fonction, je pense que la première méthode sera la plus facile, mais cela reste à vérifier.

Bon courage, désolée de la rapidité de l'explication, je dois filer.

ManueReva

En observant sa courbe représentative sur l'écran d'une calculatrice, quel semble être le maximum de cette fonction sur R ?

D'après la calculette, il semble être 3.

Pour quel valeur de la variable semble-t-il être atteint ? Valider la conjecture.

f(x)< f(a) ; f(x)<f(3) ; f(x)-f(a)<0 ;

6x+6/x²+3 - 3 = 6x+6/x²+3 - 3(x²+3)/x²+3 = 6x+6-3x-9/x²+3 = -3x²+6x-3/x²+3 =
-3(x-1)²/x²+3. Je sais pas si on a le droit de simplifier par 3 et donc on obtient -(x-1)²/x².
Mais je sais pas quoi faire pour la suite.

Si quelqu'un pouvait m'éclairer.
Merci
Sg94.

Je peux dire que des carrés sont tjrs positifs mais il y a le - devant (x-1)².

Mais pour conclure, je sais pas quoi dire et ce qu'il faut dire.

Merci
Bonne Soirée
Sg94.

Bonjour,

Ton raisonnement est bien parti, mais difficile à lire.

a) Tu devrais mettre des parenthèses, sinon on comprend à l'envers.
En respectant les règles de priorité des opérations apprises au collège,
6x+6/x²+3 se lit 6x+(6/x²)+3 alors que ce n'est pas ce que tu veux dire.

b) Tu proposes de "simplifier par 3 de manière à obtenir ". J'imagine que c'est une plaisanterie. Sinon, c'est très grave. La seule chose que tu peux écrire est : mais cela n'apporte rien ici.

Tu as trouvé :

Le membre de droite est clairement négatif, puisque est un carré (donc positif), et est positif (et même ).
Donc :
et pour
Donc 3 est bien maximum de la fonction . Il est atteint en .

Nicolas

Merci de votre réponse.

Mais je ne comprends pas bien cette partie:

Le membre de droite est clairement négatif, puisque (x-1)² est un carré (donc positif), et x²+3 est positif (et même 3).
Donc :
f(x)-30 et f(x)=3 pour x=1

Donc 3 est bien maximum de la fonction f. Il est atteint en x=1.


JE sais que je dois écrire après f(x)-3= (-3(x-1)²)/(x²+3) que des carrés sont tjr positifs donc (x²+3) est positif mais le membre du haut est négatif car -30.

Ah oui en écrivant je m'en rend compte donc vu qu'un membre est négatif f(x)-30.

On sait que f(x)=3 mais comment sait-on qu'il est atteint en 1 ?

Merci
Sg94

"On sait que f(x)=3 mais comment sait-on qu'il est atteint en 1 ?"

Tu sais que : f(x)-3= (-3(x-1)²)/(x²+3)
Prends x=1 : f(1)-3 = 0 donc f(1) = 3

Je sais pas si j'ai la tête en bouillie mais vous dites de faire f(1)-3, si je fais ça, je trouve -3. f(1)-3 = (-3(1-1)²)/(1²+3) - 3 = -3 donc f(1)-3= -3 d'où f(1)=0.

Sinon le x=1 c'est une déduction ?

Merci
Sg94

Ce que tu as écris est faux. Il y a un -3 qui apparait à la fin sans raison.

f(x)-3 = (-3(x-1)²)/(x²+3)
Tu prends x=1
f(1)-3 = (-3(1-1)²)/(1²+3) = 0

Pardon : "écrit"

Ah oui mince, merci je savais que j'avais la tête un peu bizar ce matin mais le x=1 on le déduit ou sa peut marcher avec n'importe quel fonction ?

Merci
Sg94

Re-bonjour

en fait, le x=1 il est trouvé par ta conjecture. En regardant la courbe tu vois que le maximum est atteint en x=1 et que le maximum vaut 3 (si j'ai bien tout suivi).
Donc, pour valider ta conjecture, il faut prouver deux choses :
- que le maximum vaut 3
- qu'il est atteint en x=1

Première étape : montrer que la fonction est toujours inférieure à 3 :
On fait donc f(x)-3, on regarde ce que cela fait et tu as vu que c'était toujours négatif ou nul. Donc on a f(x)-30 ce qui veut dire que f(x)3 pour n'importe quel x. On vient donc de prouver que la fonction f est toujours inférieure (ou égale) à 3.

Deuxième étape : montrer que f(1)=3 : c'est à dire montrer qu'il y a un x pour lequel le maximum est atteint. Il faut montrer que ce x est 1 (tu connais sa valeur à priori par ta conjecture).
Tu calcules f(1) et OH MIRACLE !, tu trouves 3 ... le maximum... (ce qui revient aussi à calculer f(1)-3 et trouver 0)

Conclusion ... la fonction admet un maximum 3 en x=1.

C'est toujours la même méthode si tu as une conjecture de ce type. Tu regardes la courbe sur ta calculatrice. Tu vois qu'elle a un maximum qui vaut M en x=a.
Il faut alors prouver que pour n'importe quel x, f(x)M. Puis montrer que f(a)=M. Pour cela :
- 1ere étape : calcul de f(x)-M et tu regardes le signe, pour un maximum tu doit trouver négatif (si tu dois montrer que c'est un minimum, alors tu dois trouver positif)
- 2e étape : calcul de f(a), et normalement, tu dois trouver que f(a)=M.

Voilà ...
Bon courage
ManueReva

Ok parfait merci de votre c'est pile les réponses qu'il me fallait.

Merci beaucoups.
Sg94.

"vos réponses"

J'ai la fonction g(x)= x²-3x+1, je dois étudier le sens de variation sur ]-infini;3/2].

Je réponds à tt les questions précédentes quand j'arrive à ça :
Comme a<b donc a-b<0

a<3/2
b<3/2  car a € ]-infini;3/2] et b également

Donc a+b<6/2   ; a+b-6/2<0

J'en déduit donc que g(a)-g(b)<0  et que donc g(a)<g(b).

On me dit non on trouve g(a)-g(b)>0 donc g(a)>g(b) et que les nombres a et b et leurs images sont rangés dans l'ordre contraire donc g est décroissante sur ]-infini;3/2]

Moi je ne comprends pas, je croyais avoir bien résonné, qu'est-ce-qui est faux dans mon résonnement ?

Merci d'avance.
Sg94.

humpf ... je crois que tu t'es emmelé les pinceaux

Je pense que l'on a du te demander te montrer que g(x)=(x-3/2)²-5/4

Et là, tu utilises le même raisonnement que précédemment,
a<b<3/2, donc a-3/2<b-3/2<0 donc (a-3/2)²>(b-3/2)² donc (a-3/2)²-5/4>(b-3/2)²-5/4
donc g(a)-g(b)>0 donc g(a)>g(b)

Conclusion g est décroissante

ManueReva

Salut,

Non on ne m'a pas demandé de montrer que g(x)=(x-3/2)²-5/4.

Mais j'ai trouvé la réponse avec un tic de patience.

On m'a demandé d'abord de montrer que g(a)-g(b)=(a-b)(a+b-3) et d'étudier ensuite le sens de variation de g sur ]-infini;3/2].

Voilà..
Merci