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separation
Bonjour
On travaille dans un espace vectoriel X. Soit f une forme linéaire qui sépare deux sous ensembles M et N cad qu'il existe une constante c tel que
f(x)> ou égal à c pour x dans M et f(x)< ou = à c pour x dans N.
On me demande de prouver que f sépare M et N ssi f sépare M - N et {0}
Dans un sens pas de problèmes. si f sépare M et N on ae résultat. Soit x appartenant à M - N alors x=y - z avec y dans M et y dans N. f(x) = f(y) - f(z) or f(x) >=c et f(y)<=c Par conséquent f(x)>=0 Comme f(0)=0 il suffit de choisir comme constante k=0 on a bien f(x)>=0 pour x dans M-N et f(0)<=0;
l'autre sens me pose problème. Supposons que f(x)>=c si x dans M-N et f(0)<=c
si x=0; oN a alors f(y)-f(z)>=c avec c positif puisque f(0)=0 donc f(y)>f(z) pour tout y dans M et tout z dans N. Je ne sais pas choisir la constante qui fait que f(x)>=c et f(y)<=c.
Les ensembles M et N ne sont pas forcément bornés.
Merci pour le coup de main
Spirou
Bonjour, spirou.
Supposons que f sépare M-N et 0. Alors, comme f(0)=0, on peut affirmer que pour tout x de M-N, f(x) est positif ou nul (c'est une conséquence de ce que tu avais expliqué dans ton post).
Suppososons que f(M) ne soit pas minoré.
Alors, en considérant un élément n de N, il existe m dans M tel que f(m)<f(n). Alors, m-n est un élément de M-N et f(m-n)=f(m)-f(n)<0 . Ce qui est contradictoire puisque, pour tout x de M-N, f(x) est positif ou nul.
Donc, f(M) est minoré.
Notons c la borne inférieure de f(M). On peut montrer que, pour tout n de N: f(n) inférieur ou égal à c.
... (je ne détaille pas cette partie du raisonnement, mais je peux le faire sur demande)
Bonjour perroquet
J'avais pensé à ce qui suit avant que tu n'interviennes mais après ce que tu as écrit maintenant je doute:
f(x-y)>=c et f(0)<=c donc f(x)-f(y)>=c>=f(0)=0
pour tout x et tout y donc en particulier si y=0,f(x)>=c>=0 et si x=0
f(y)<=-c<=0 et donc c=0 ausi .
uN GRAND MERCI
j'essaye de continuer.
on sait que f(m)>=f(n) pour tout m dans M et n dans N
fixons un n dans N alors f(n)<= f(m) pour tout m dans M
et donc f(n)<= inf f(m) avec m dans M
par conséquent f(n)<=c et f(m)>= c.
Est-ce bon?
Merci
> spirou
Oui, c'est bon (et c'est mieux que ce que j'avais trouvé)
> cunctator
Tu as écrit:
f(x-y)>=c et f(0)<=c donc f(x)-f(y)>=c>=f(0)=0
pour tout x et tout y donc en particulier si y=0,f(x)>=c>=0 et si x=0
f(y)<=-c<=0 et donc c=0 ausi .
On ne peut pas poser y=0 (il n'est pas précisé que N contient 0)
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