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Séparation d'un compact et d'un fermé

Posté par
Fractal 04-07-08 à 03:19

Bonjour

Citation :
K est un compact de R² et F un fermé de R².
SL2(R) agissant continuement sur R², pour tout 3$g\in SL_2(\mathbb{R}) tel que 3$gK\cap F=\empty il existe un voisinage ouvert Ug de g dans SL2(R) vérifiant : 3$\forall g'\in U_g, g'K\cap F=\empty


Je n'arrive pas à comprendre comment de la continuité de l'action on peut en déduire l'existence de ce voisinage. C'est sans doute tout bête mais je ne vois pas.

Merci

Fractal

Posté par
Tigweg Correcteurre : Séparation d'un compact et d'un fermé 04-07-08 à 08:47

Salut Fractal,


il suffit d'utiliser le fait que 4$\rm gK est un compact (par continuité de g) et F un fermé de 4$\rm \mathbb{R}^2 .

Il existe donc deux ouverts 4$\rm O_1,\;O_2 tels que 4$\rm gK\subset O_1,\;\;\;F\subset O_2 et 4$\rm O_1\bigcap O_2=\empty .


Par continuité de l'action, il existe un voisinage 4$\rm U de 4$\rm g dans 4$\rm SL_2(\mathbb{R}) tel que 4$\rm \forall g'\in U,\; g'K\subset O_1 , et en particulier tel que 4$\rm \forall g'\in U, \;g'K\bigcap F=\empty .


Posté par
Fractalre : Séparation d'un compact et d'un fermé 04-07-08 à 09:54

Salut Tigweg

Citation :
Par continuité de l'action, il existe un voisinage U de g dans 3$SL_2(\mathbb{R}) tel que 3$\forall g'\in U,\; g'K\subset O_1

C'est cette étape que je ne comprends pas bien.
3$SL_2(\mathbb{R}) agit sur 3$\mathbb{R}^2 et c'est son action sur les points dont on sait qu'elle est continue, pas son action induite sur les parties de 3$\mathbb{R}^2.
Ou alors j'ai raté une étape quelque part?

Fractal

Posté par
Tigweg Correcteurre : Séparation d'un compact et d'un fermé 04-07-08 à 11:19

Oui mais gK est compact: pour tout gk de gK, tu définis une boule ouverte Vgk contenant gk et incluse dans O_1.

On lui associe une boule ouverte Wk contenant k et incluse dans K (g est un homéomorphisme), tel que g(Wk) soit inclus dans Vgk.

On recouvre par ce procédé le compact K par une famille d'ouverts, dont on extrait un sous-recouvrement fini Wk_1,Wk_2,...Wk_n.

On montre ensuite que pour chaque i, il existe un voisinage Ui de g tel que pour tout g' de Ui on ait g'V_k\subset O_1

Or la réunion de tous ces ensembles n'est autre que g'K.

Il en résulte que l'intersection U des Ui convient, sauf erreur.

Posté par
Fractalre : Séparation d'un compact et d'un fermé 04-07-08 à 12:03

C'est bon, j'ai compris

Merci !

Fractal

Posté par
Tigweg Correcteurre : Séparation d'un compact et d'un fermé 04-07-08 à 12:42

Avec plaisir


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