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Posté par
Kuarcha 26-11-07 à 18:47

Bonsoir,

J'aurais une problème dans mon dm sur les séries, je vous donne l'énoncé :

Soit un une suite décroissante vers 0, chercher une relation entre :

A_n=\sum_{p=1}^{n}u_p et V_n=\sum_{p=1}^{n}p(u_p-u_{p+1})

J'ai trouvé :

V_n=A_n-nu_{n+1}

La question ou je bloque est la suivante :

On suppose que \sum u_n converge, démontrer que \lim_{n\to \infty} u_n=0 en utilisant \sum_{p=n+1}^{2n}u_p

Je ne vois pas comment avancer, pouvez vous m'aider?

Kuarcha

Posté par
oliveirore : Série 26-11-07 à 20:05

je ne comprend pas bien ta question, une condition nécessaire de converge de somme des Un est que la suite tende vers 0...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Série. 26-11-07 à 23:44

Bonsoir ;

Théorème :
Si la suite (u_n) décroit vers 0 et la série \Bigsum_{n}u_n est convergente alors \lim_{n}\;nu_n=0.

Preuve :
\Bigsum_{p=n+1}^{2n}u_p\ge nu_{2n}\ge0 donc \lim_{n}\;nu_{2n}=0 donc \lim_{n}\;2nu_{2n}=0 ,

0\le(2n+1)u_{2n+1}\le(2n+1)u_{2n}=2nu_{2n}+u_{2n} donc \lim_{n}\;(2n+1)u_{2n+1}=0 (sauf erreur bien entendu)

Posté par
Kuarchare : Série 28-11-07 à 12:50

Excusez moi de ne pas avoir pu répondre plus tot. Effectivement, c'était la limite de nUn que je cherchais, pas celle de Un.. Merci beaucoup de vos réponses qui m'ont éclairées, bonne soirée

Kuarcha


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