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série
Bonjour,
je suis en pleine révision d'un ds et je bloque pas mal sur cet exo, je vous mets ce que j'ai déjà fait et où sont mes difficultés.
2)On considère deux séries à termes positifs ak et bk convergentes, on fabrique la série de terme général ck défini par ck=a0bk+a1bk-1+...akb0=sum ap*b(k-p)de p=0àk
a)Vérifier que sumcp,p=0:k<=(sum ap,p=0:k)(sum bp,p=0:k)<=sum cp,p=0:2k
b) en déduire la convergence et la somme de la série de terme général ck.
Pour cette partie, j'ai beau posé et développer les sommes ca marche pas je vois pas comment faire.
3)On considère une variable aléatoire discrete X à valeurs dans N, on note pn=P(X=n)
a)Soit x appartenant à[0,1], montrer que la série de terme général pnx^n est convergente. OK
On note, pour x 
[0,1], GX(x)=sumpnx^n,n=0:inf On veut montrer que GX est dérivable à gauche en 1 ssi la série de terme général npn converge, c a d ssi X a une espérance.
b)i)Montrer que pour tout x appartenant à [0,1[, (GX(x)-GX(1))/(x-1)=sum(pn(1+x+x^2+...+x^(n-1),n=0:inf
ii)On considère la fonction to définie sur [0,1[ par pour tout x appartenant à [0,1[ to(x)=(GX(x)-GX(1))/(x-1). Montrer que cette fonction est croissante sur [0,1[
c)On suppose que la série de terme général npn converge. Montrer que pour tout n appartenant à [0,1[ (GX(x)-GX(1))/(x-1)<=E(X)
En déduire que GX est dérivable à gauche en 1 et que G'X(1)<=E(X)
d) Réciproquement, on suppose que GX est dérivable à gauche en 1. Montrer que pour tout N appartenant à
*, sumnpn,n=0:N<=G'X(1)
En déduire que la série de terme général npn converge donc que X admet une espérance et que E(X)<=G'X(1)
e) Conclure
alors pour b)i) je crois avoir réussi par ce que c'est la somme d'une suite géométrique donc c'est Ok
pour ii) je pense que je dois dériver mais j'y arrive pas et ensuite le reste je suis bloqué.
Pouvez vous m'aider?
Merci d'avance
quelqu'un pourrait il m'aider quand même car je peux pas faire mieux
Il faut bien faire attention à la manipulation des indices: les trois termes de l'inégalité à démontrer sont des sommes de produits ai*bj
dans le terme médian i et j vont de 0 à k (dans le plan (i,j) c'est un carré)
dans le terme de gauche on a i+j<=k c'est la moitié du carré précédent
dans le terme de droite on a i+j<=2k, c'est un triangle de coté double du précédent, qui contient le carré ci-dessus, puisque le milieu de la diagonale est i=k j=k
Une somme partielle de la série cp peut donc être encadrée par deux produits de sommes partielles de ap et bp: cp est convergente et a pour somme le produit des sommes des séries ap et bp
ok merci bcp j'ai réussi à faire la question 2 par contre il me reste la trois à faire, quelqu'un peut il m'aider?
quelqu'un peut il m'aider à faire la question 3 a) b)ii) c) d) e)
3a) si pn est une probabilité, pn>=0 et 
pn=1 et comme pour 0<=x<=1, pn*x^n<=pn la série pn*x^n converge: soit GX(x)=pn*x^n
3b i) GX(x)-GX(1)=pn(x^n-1)=pn(x-1)(1+...+x^(n-1)) donc
(GX(x)-GX(1))/(x-1)=pn(1+...+x^(n-1))
ii) Le second membre est une somme de fonctions croissantes, donc est une fonction croissante. (pour x1<x2, x1^k<x2^k, 1+...+x1^(n-1)<1+...+x2^(n-1),...)
c) pour tout x<1, x^k<1 pourtout k>0 donc 1+...+x^(n-1)<n donc
(GX(x)-GX(1))/(x-1)<npn=E(x)
La fonction du 1er membre est croissante et majorée, elle admet donc une limite, ce qui signifie que GX(x) est dérivable à gauche en 1, et que G'X(1)<=E(X)
d) réciproquement si (GX(x)-GX(1))/(x-1) qui est croissante, admet une limite quand x etnd vers 1-, cette limite est supérieure à toute valeur de la fonction, donc pour tout x
pn(1+...+x^(n-1))<G'X(1) et donc la limite du premier membre vérifie
npn<=G'X(1) , et la série à terme positifs npn est convergente
Donc E(X)<=G'X(1)
e )Il résulte de c et de d que G'X(1)=E(X)
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