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serie

Posté par jacko78 (invité) 16-05-06 à 17:26

Bonjour a tous, pourriez vous m'aider sur cette question je ne vois pas trop comment faire. Une indication me suffira si possible :

Montrer qu'il existe une suite de reels (b_n)_{n \ge 1} telle que pour tout r dans ]0,1[, \Bigsum_{n=1}^\infty b_n \frac{sin(n\pi r)}{r}=1 et donner les b_n en fonction de n.

Merci beaucoup

Posté par
kaiser Moderateurre : serie 16-05-06 à 17:29

Bonjour jacko78

As-tu pensé aux séries de Fourier ?

Kaiser

Posté par
JJare : serie 16-05-06 à 17:36

Bonjour jacko78
connais-tu les séries de Fourier ?
Si oui, calcule la série correspondant à la fonction f(r)=r pour -1<r<1.

Posté par jacko78 (invité)re : serie 16-05-06 à 18:28

Oui je connais mais ca ne marche pas pour f(r)=r, j'obtiens une somme mais il n'y a pas le denominateur r dans celle ci

Posté par
kaiser Moderateurre : serie 16-05-06 à 18:31

En développant f en série de Fourier, tu trouves que pour tout r de ]-1,1[, on a \Large{\bigsum_{n=1}^{+\infty}b_{n}sin(n\pi r)=r}.
Pour r non nul, il suffit de diviser par r, non ?

Posté par jacko78 (invité)re : serie 18-05-06 à 22:15

d'ou sort le n\pi r qui est dans le sinus, pourquoi est ce que ca n'est pas un nr simplement comme la formule le donne ??

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : serie 18-05-06 à 23:43

Bonsoir;
(*)Soit f la fonction impaire 2\pi-périodique telle que \fbox{\forall x\in[0,\pi]\\f(x)=x}.
f est C^1 par morceaux donc limite de sa série de Fourier en tout point où elle est continue en particulier on a 2$\fbox{\forall x\in]0,\pi[\\f(x)=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\beta_nsin(nx)} où 2$\fbox{\forall n\ge1\\\beta_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}xsin(nx)dx}
une petite intégration par parties donne 2$\fbox{\forall n\ge1\\\beta_n=\frac{2(-1)^{n-1}}{n}}
en posant \fbox{r=\frac{x}{\pi}} on a donc 2$\fbox{\forall r\in]0,1[\\\pi r=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{2(-1)^{n-1}}{n}sin(n\pi r)} la suite de réels (b_n)_{n\ge1} définie par 3$\blue\fbox{b_n=\frac{2(-1)^{n-1}}{n\pi}} vérifie alors 3$\blue\fbox{\forall r\in]0,1[\\\Bigsum_{n=1}^{+\infty}b_n\frac{sin(n\pi r)}{r}=1}


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