Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

série convergente ?

Posté par
francis_aix 12-10-07 à 16:11

Bonjour tout le monde !

Soit \left(u_n\right) la suite définie pour tout entier naturel, par u_n=\left(1+k\right)\left(1+k^2\right)\left(1+k^3\right)\cdots\left(1+k^n\right) avec k\in]0;1[.

On me demande d'étudier la nature de la suite \left(u_n\right).
En gros je dois dire si la suite converge ou diverge. Est-ce bien cela ?

On me donne comme indice d'utiliser la relation 1+x\le e^x.

Je suis donc arriver à:

1\le u_n\le e^k\times e^k^2\times e^k^3\times\cdots\times e^k^n
1\le u_n\le e^{k+k^2+k^3+\cdots+k^n}
1\le u_n\le e^{k\times\frac{1-k^n}{1-k}}

En passant à la limite j'obtiens:

1 \le \lim_{n\rightarrow +\infty}u_n\le e^{\frac{k}{1-k}}

J'en déduis donc que si la suite \left(u_n\right) converge vers l alors 1\le l \le e^{\frac{k}{1-k}}.
Mais rien ne prouve que la suite \left(u_n\right) converge...

Et c'est bien là mon problème. Que puis-je faire ? Merci d'avance pour votre aide.

Francis

Posté par
lafol Moderateurre : série convergente ? 12-10-07 à 16:14

Bonjour
elle ne serait pas un peu croissante et majorée, ta suite ?

Posté par
francis_aixre : série convergente ? 12-10-07 à 16:18

majorée par quoi ? je ne vois pas ?
oh oui... c la présence du n dans l'inégalité qui me posait pb mais en fait ca gène pas parce que k\le 1-k^n.
Je suis naze, j'avais tous sous les yeux !

merci

Posté par
Tigweg Correcteurre : série convergente ? 12-10-07 à 16:21

Bonjour francis_aix, en effet!

En général dans ce genre de situations on introduit le logarithme népérien de la suite.

On se retrouve donc avec la série de terme général ln(1+kn).

Elle est à termes positifs, et le terme général équivaut en l'infini à kn puisque ln(1+x) équivaut à x lorsque x tend vers 0 et que kn tend vers 0 en l'infini.

Or kn est le terme général d'une série géométrique convergente, donc la série de terme général ln(1+kn) converge également, autrement dit ln(un) est convergente.

Par continuité de l'exponentielle sur R, un converge également.

Posté par
Tigweg Correcteurre : série convergente ? 12-10-07 à 16:22

Bonjour lafol, désolé je poste en retard!

Posté par
Tigweg Correcteurre : série convergente ? 12-10-07 à 16:23

La solution de lafol est plus simple que la mienne.

Posté par
lafol Moderateurre : série convergente ? 12-10-07 à 16:29

Majorée par quoi ? tu as écrit : 1\le%20u_n\le%20e^{k\times\frac{1-k^n}{1-k}}
mais k est entre 0 et 1, donc 1-k est positif, et 1-k^n<1 donc \frac{1-k^n}{1-k}\le\frac{1}{1-k} etc.

Posté par
lafol Moderateurre : série convergente ? 12-10-07 à 16:29

salut tigweg


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1677 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !