Tout d'abord analyser le terme général : à mon avis, si x est
négatif, et s'il est dans l'exponentielle, le terme général
ne tend pas vers 0 donc la série diverge...Donc dans la suite je
suppose x>=0

1) Voir le critère de convergence des séries alternées.
Le terme général u(n) s'écrit (-1)^n*v(n) avec v(n) positive, décroissante
et tendant vers 0. Dans ce cas,la suite v(n)=n^(-1/3)*exp(-x*n^1/4)
est décroissante pour tout x (à montrer en étudiant v(n+1)/v(n) par
exemple).
2) Ensuite, il faut savoir que le reste d'une série alternée est
majoré en valeur absolue par la valeur absolue du premier terme négligé.
Par conséquent, ce reste est majoré en valeur absolue par :
ABS(v(n+1))<=n^(-1/3) pour tout x car le terme exponentiel est plus petit que 1.
Par conséquent, ce reste tend vers 0 de façon uniforme par rapport à
x (sans "dépendre de la valeur de x"- pour tout x positif ou nul).
D'où la convergence normale donc uniforme de cette série sur les réels
positifs !

Aie ! Une coquille dans ma réponse finale, trop enthousiaste...
La convergence est uniforme, certes, mais elle n'est PAS normale
!
En effet, supabs( v(n)) (pour x>=0)>=v(n) (pour x=0) et
v(n)=n^(-1/3) pour x=0, terme général d'une série divergente
Donc la convergence est uniforme, mais pas normale...

alors se qui conserne ton problemes vs devez savoire que vs etes
disposer de savoire que trouver R=rayon de convergense de la suite
f(n)=n^(-1/3)*exp(-x*n^1/4) cad pour trouver le rayon il faut calculer
la limites de la valeur absolue de f(n+1)/f(n) quand n tend vers
l'infinit cette limite egale a 1/(valeur absolue de R) ok!
alors bon chance ah! n'oublier pas pour ce genre de probleme
vs travailler sur les boules de !R² ok! 2 dimension