g oublie de preciser que x   R+ et n
2

la convergence simple s'étudie par rapport à un x fixé donc
dépend du choix de x.

la convergence uniforme s'étudie par rapport la norme de convergence
uniforme: ||  ||oo.

soit x fixé, on va étudier la convergence simple.

généralement en cherche à majorer fn(x) par le terme d'une série connue dont
sait qu'elle converge.

dans le cas présent:

il faut remarquer tout de suite que fn(x) est impaire.

donc on peut pour la convergence simple supposer x>0.

x/((1+n²x²)<x/n²x²     qq soit x>0 et nEN*

donc x/((1+n²x²)<1/n²x

donc fn(x)<1/xn²ln(n)

pour x fixé  la série de terme général (  1/xn²ln(n)) converge d'après
les critères de Raiman.

donc la série positive de terme général (fn(x)) converge simplement  
sa somme dépend su choix de x.

Pour la convergence uniforme:

on commence par étudier les variation de la fonction fn(x)

(faites le calcul de la dérivé et des limites et étudier les variations de
fn(x))

J'ai trouvé les résultats suivant

f'n(x)=0 pour x=1/n ou x=-1/n

fn(1/n)=1/(2nln(n))  et fn(-1/n)=-1/(2nln(n))  

fn est strictement décroissante sur ]-oo,-1/n[
fn strictement croissante sur ]-1/n,1/n[
fn est strictement décroissantes sur ]1/n,+oo[

limfn(x)=0 en +oo  et limfn(x)=0 en -oo

donc fn(x) est majoré par  1/(2nln(n))  qq soit xER et se maximum est
le sup fn(x) lorsque xER et il est atteint en xo=1/n

donc on a montré que ||fn||oo=1/(2nln(n))  

où ||  ||oo est la norme de convergence uniforme.

comme la série positive de terme général(1/(nln(n)) ) converge d'après
les critères de Raiman

donc la série de fonction de terme général (fn) converge uniformément.

voila pour la convergence uniforme.

la convergence uniforme est plus forte que la convergence absolue car
qq soit x |fn(x)|<= ||fn||oo

donc une série de fonctions qui converge uniformément converge absolument.
La réciproque est fausse sauf si l'espace de fonction dans lequel
vous étudiez la convergence est de dimension fini car dans ce cas
toutes les normes sont équivalentes.

voila qq explications rapides. Mais vous devez vous entreinez sur ses questions.

Bon courage et je vous remercie.

Ok j'ai compris cependant, ||fn||oo  c'est pas pour la
convergence normale?

De plus pour la meme fonction on me demande d'etudier la convergence
normal sur R+ puis sur [a,+oo[ avec a>0

Et la encore une fois je vois pas, je calcule la derivé et je trouve
son max c'est bon ça?

convergence uniforme c'est au sens de ||  ||oo.

le convergence normale est la convergence absolue.


la convergence uniforme entreigne la convergence absolue (ou normale)
la réciproque est fausse.

"convergence uniforme c'est au sens de ||  ||oo.
le convergence normale est la convergence absolue.
la convergence uniforme entreigne la convergence absolue (ou normale)
la réciproque est fausse. "

C'est n'importe quoi ca:
La convergence est dite uniforme si la série des normes converge.
La convergence normale est à une série de fonction ce que la convergence
absolue est à une série numérique.

La convergence uniforme n'a jamais ô grand jamais entrainé une
convergence normale mais c'est l'inverse évidemment...
et dans ce cas la réciproque est fausse...

Pardon, je voulais dire, "la convergence est NORMALE si la série
numérique des normes converge" bien entendu.

La convergence est uniforme s'il existe une suite numérique S qui
domine la norme de la difference de la limite et de la série de fonction
  , et telle que S converge.

Ce qui revient en fait à dire que ||S(x)-S||oo converge vers 0.