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série de fonctions

Posté par
audreys18 24-10-07 à 17:45

bonjour,
j'essaie de faire un exercice mais je n'arrive pas a répondre a toutes les questions. Pouvez-vous m'aider?
voila l'énoncé:
On considère la série de fonctions \sum_{i=1}^\infty Un(x) où Un (x) =1/(n²-x²)
1) Montrer que la série \sum_{i=1}^\infty Un(x) converge normalement sur IR et que le somme est une fonction continue sur IR.
2) On désigne pas f(x)= \sum_{i=1}^\infty Un(x). soit Un'(x) la dérivée de Un(x). Montrer que \sum_{i=1}^\infty Un'(x) est normalement convergente sur IR et soit g(x)\sum_{i=1}^\infty Un'(x) . 3) En déduire,en appliquant un résultat du cours que f(x) est continument dérivable sur IR et que f'(x)=g(x)

Pour la question 1:
|Un(x)| = |1/(n²-x²)|<1/n²
soit Mn=1/n² la série \sum_{i=1}^\infty Mn<   x IR donc \sum_{i=1}^\infty Un(x) converge normalement sur IR.
Un(x) est continue sur IR et comme \sum_{i=1}^\infty Un(x) converge normalement sur IR alors la série \sum_{i=1}^\infty Un(x) est continue sur IR.

Pour la question 2:
Un'(x) = 2x/(n²-x²)²
je ne vois pas par quelle suite convergente je peux la majorer.
Pouvez- vous me donner une piste?
Merci d'avance pour vos réponse
Audrey

Posté par
Tigweg Correcteurre : série de fonctions 24-10-07 à 18:25

Bonjour Audrey, il n'y a pas convergence normale sur R, il est clair que tes séries ne sont pas définies lorsque x est un entier.Il faut donc examiner la convergence normale sur des intervalles de la forme ]k;k+1[ plutôt non?

Par ailleurs ta majoration |1/(n²-x²)|<1/n² est fausse, en revanche si x appartient à ]k;k+1[ et si n>k+1, tu peux majorer le terme général de Un(x) par max(|1/(n²-k²)|,|1/(n²-(k+1)²)|).

Pour la question 2, majore de même le numérateur et minore le dénominateur en te servant de l'encadrement sur x.


Tigweg

Posté par
audreys18re : série de fonctions 01-11-07 à 15:36

bonjour,
j'ai repris cet exercice pouvez-vous m'aider pour la dernier question.

1) soit x [a;b]
Un(x) est décroissante donc
\frac{1}{n^2-x^2} \le \frac{1}{n^2-a^2}<Mn=1/n²
or \sum_{n=1}^\infty Mn converge sur tout intervalle [a;b] fermé inclus dans IR alors la série \sum_{n=1}^\infty Un (x) converge normalement sur tout intervalle fermé [a;b].
UN(x) est une fonction continue sur de plus \sum_{n=1}^\infty Un (x) converge normalement sur tout intervalle fermé [a;b]
donc \sum_{n=1}^\infty Un (x) est continue sur .

2)soit U'n(x)=\frac{-2n}{(n^2-x^2)^2} \le \frac{-2n}{(n^2-a^2)^2}<Mn=-2n/n4=-2/n3
or \sum_{n=1}^\infty Mn converge sur tout intervalle [a;b] fermé inclus dans IR alors la série \sum_{n=1}^\infty U'n (x) converge normalement sur tout intervalle fermé [a;b].

Est ce juste? pouvez vous m'aider pour la 3ième question je pense utiliser la convergence normale, est ce cela?
merci pour vos réponses

Posté par
audreys18re : série de fonctions 01-11-07 à 19:27

stp

Posté par
audreys18re : série de fonctions 03-11-07 à 12:44

bonjour,
pouvez vous me dire quel théorème je dois utiliser pour montrer que f(x) est continument dérivable?
merci pour vos réponses

Posté par
audreys18re : série de fonctions 03-11-07 à 12:47

bonjour,
pouvez vous me dire quel théorème je dois utiliser pour montrer que f(x) est continument dérivable?
merci pour vos réponses

Posté par
tizere : série de fonctions 03-11-07 à 12:50

Bonjour,
tu n'as pas besoin de poster plusieurs fois un même message !!!
Utilise le troisième théorème de la page suivante :

Posté par
audreys18re : série de fonctions 03-11-07 à 13:18

je suis désolée pour le message visiblement j'ai fait une fausse manipulation.
merci pour ta réponse.


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