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Série de fonctions

Posté par
Jean1418 07-01-23 à 18:53

Bonjour,
Soit f:x\mapsto \frac{1}{\lfloor n \pi \rfloor^x}-\frac{1}{(n \pi)^x}
Cette fonction est définie pour x>0. Déjà, comment le montrer. Je n'arrive à montrer qu'elle est définie que pour x> \frac{1}{2} en utilisant la majoration : \frac{1}{\lfloor n \pi \rfloor^x}-\frac{1}{(n \pi)^x} \leq \frac{1}{\lfloor n \pi \rfloor^{2x}} via Riemann.
Je ne vois pas trop comment faire pour x \leq \frac{1}{2}. Une idée ?

Posté par
Jean1418re : Série de fonctions 07-01-23 à 18:55

Erreur de ma part : il s'agit de la série f(x)=\sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{\lfloor n \pi \rfloor^x}-\frac{1}{(n \pi)^x}

Posté par
Zormuchere : Série de fonctions 07-01-23 à 23:31

Salut, si je ne me suis pas trompé, en utilisant l'inégalité  \lfloor n\pi \rfloor \ge (n-1)\pi (qui est vraie car le multiplicateur pi est supérieur à 1...), on arrive au bout du problème

Peut-être que l'inégalité plus logique, \lfloor n\pi\floor \ge n\pi-1 permet aussi de résoudre le problème, mais la première que j'ai donnée est plus facile

Posté par
Zormuchere : Série de fonctions 07-01-23 à 23:31

rectification pour la dernière partie de mon message : \lfloor n\pi\rfloor \ge n\pi-1

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Série de fonctions 07-01-23 à 23:32

Bonsoir

Pour n entier naturel supérieur ou égal à 2 et x réel strictement positif on peut écrire :

\Large\boxed{0<(n\pi-\pi)^x<(n\pi-1)^x<\lfloor n\pi\rfloor^x\leqslant(n\pi)^x} et donc \Large\boxed{\frac{1}{(n\pi)^x}\leqslant\frac{1}{\lfloor n\pi\rfloor^x}<\frac{1}{(n\pi-\pi)^x}}

ce qui donne \Large\boxed{0\leqslant\frac{1}{\lfloor n\pi\rfloor^x}-\frac{1}{(n\pi)^x}<\frac{1}{(n\pi-\pi)^x}-\frac{1}{(n\pi)^x}=\frac{1}{\pi^x}\left(\frac{1}{(n-1)^x}-\frac{1}{n^x}\right)}

Posté par
Jean1418re : Série de fonctions 08-01-23 à 10:43

Ok on peut conclure par Riemann avec cette majoration. Merci !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Série de fonctions 08-01-23 à 10:56

on ne conclut pas par Riemann pour x\in]0,\frac{1}{2}]

Posté par
Jean1418re : Série de fonctions 08-01-23 à 11:50

A priori on a bien l'équivalent :
\frac{1}{((n-1)\pi)^x}-\frac{1}{(n\pi)^x} \sim_{+ \infty} \frac{x}{\pi^x n^{x+1}}
Ce qui permet effectivement de conclure par Riemann, quel que soit x>0, sur la convergence de la série dont le terme général est le majorant que tu as calculé, et donc par domination convergente sur la bonne définition de f(x).

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Série de fonctions 08-01-23 à 12:20

Oui si tu veux on peut le voir comme ça.

Mais il y a plus simple vu que dans la majoration donnée le terme de droite est télescopique

Posté par
Jean1418re : Série de fonctions 08-01-23 à 12:26

Oui.


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