Bonsoir,

Déjà, on mpntre facilement que cette suite converge simplement vers la fonction nulle.

Tu peux montrer que pour tout x de R+, en étudiant cette fonction et en montrant que le max est atteint pour x=1/n.

Il ya donc CVU

oublie la première ligne de mon message précédent, je me suis emmelé les pinceaux avec les suites de fonctions

Bon erreur de ma part, la série de fonctions de terme général 1/nln(n) ne converge pas.

désolé

Bonsoir Rouliane. En effet cette suite de Bertrand ne converge pas. En fait j'ai montré que la série de fonction ne convergeait pas normalement sur R+ (en utilisant le max de la fonction qui est une série divergente) mais qu'elle convergeait normalement sur [a,+00[ pour a strictement positif.

Il me manque la convergence uniforme sur R+. Merci pour ton aide

Bonjour Laurierie et Rouliane

Effectivement, la convergence normale ne marche pas ici et il faut donc recourir à une autre méthode pour montrer la convergence uniforme, c'est-à-dire essayer d'estimer le reste de la série pour montrer qu'il converge uniformément vers 0. Voici ce que je propose. Prenons n et p deux entiers quelconques et essayons de majorer par une suite indépendante de p et de x et qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

On peut commencer par dire que



Supposons x non nul dans un premier temps, alors et donc on a :



Ensuite, on a que pour tout x strictement positif, (on peut le montrer en utilisant par exemple, le théorème des accroissements finis).

Ainsi,

On remarque également que cette majoration reste valable si x est nul (car la somme est alors nulle).
En faisant tendre p vers , on a bien ce qu'on voulait, c'est-à-dire la majoration suivante :



Kaiser

Merci beaucoup Kaiser et Rouliane pour votre aide. A bientot

Pour ma part, je t'en prie !