Bonsoir,

j'ai une série de fonction à étudier :

une série de terme général :
  
fn(x)=(-1)^n/((n²+x²)^0.5

J'ai réussi à prouvé la convergence simple sur R.(c'est une série alternée)
Je dois montrer la convergence uniforme sur R.
Par contre je dois montrer que la série ne converge normalement sur aucun intervalle de R.

Pour la convergence uniforme et normale, je bloque.

Pouvez-vous m'aider sur ce cas?

merci de votre compréhension

*** message déplacé ***

Bonsoir,

pour la convergence uniforme tu peux utiliser je pense la majoration du reste d'une série alternée.

D'accord, mais comment on fait pour majorer le reste de la série alternée?

On le majore par la valeur absolue du premier terme du reste.

|R_n(x)|<=|u_(n+1)(x)|

Salut,

Tu peux majorer par le premier terme (mais attention c'est que dans le cas des séries alternées)
tu as donc dans le cadres des séries alternées :
en notant s<la somme et a_n décroissante vers 0, s_n suite des sommes partielles et R_n le reste d'ordre n.
pour n dans N s_{2n+1}<s<s_{2n} (Peu utilisé)
pour toutn dans N |R_n|<=a_{n+1} très utlisé surtout pour évaluer une erreur

Voilà !

Bon courage

Tu devrais pas avoir de mal à majorer uniformement en x u_(n+1)(x) ensuite.

Pour la convergence normale regarde en x=0 tu as la série harmonique qui diverge.

Si j'ai bien compris, le reste Rn(x) est utilisé uniquement pour les séries alternées? et après majoration, que fait-on? (la série de terme général 1/n diverge!!)

Et bien pour montrer la convergence uniforme il faut majorer R_n(x) par quelque chose qui ne depend pas de x et qui tend vers 0.

Il faut utiliser que x²>0 et donc n²+x²>n² et donc....

pour la convergence normale, on pourrait utiliser le convergence absolue et prouver qu'elle ne converge sur aucun intervalle de R.

Par contre, comment faire pour montrer la convergence absolue?

merci

ptiludo55
"Si j'ai bien compris, le reste Rn(x) est utilisé uniquement pour les séries alternées?"

La réponse à cette questione st évidemment non, je te conseille de revoir ton cours sur les séries numériques partie sur les restes ..
une petite idée R_n(x) = S(x) - S_n(x) = u_{n+1}+u_{n+2}+...

mais pour le cas des séries altérnées on a une majoration (très forte et grossière d'ailleurs) qui permet de résoudre ton problème .

pour la convergence absolue, on prend |fn(x)|=1/((n²+x²)^0.5)
|fn(x)|~1/n et la série de terme 1/n diverge.

mon raisonnement est-il correct?

Je te laisse prendre le relais Cauchy, je vais me sauver j'ai trop sommeil ..

ok?

Cordialement.

Sandrine.

Pour la convergence normale si tu te places sur [a,b](mettons a,b positifs) le sup est atteint en b et le terme général sera la serie harmonique à constante pres donc il n'y a pas convergence normale.

ptiludo55 ce que tu as écris est parfaitement correct.

Moi aussi je vais au lit a+

Salut !


pour la "non" convergence normale, c'est tres simple : prend un interval quelconque, calcule la norme de fn sur cette interval, et conclu que la seri des normes infinie n'est pas sommable !


pour la convergence uniforme, il va falloir utiliser la majoration du reste des serie alterné. tu dois savoir que |Rn(x)| < |fn(x)| pour les series alterné normalement (Rn le reste d'ordre n).

apartir de la |Rn(x)|< |fn(x)|< 1/n
on a une majoration uniforme du reste, donc la seri converge uniformement sur R tous entier.

*** message déplacé ***