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série de Fourier

Posté par
HighSchool2005 15-03-07 à 17:17

Bonjour,

voici un exercice en parti résolu mais je n'arrive pas à aller à la fin...

a € R* f est 2 Pi périodique
f(x) = exp(a*x) quand x € [0, 2 Pi[
Donner le développement de f en série de Fourier et en déduire
\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{a}{a^2+n^2}}

puis une expression simplifiée de \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{1+n^2}}

Pour les coefficients, je trouve :
a_n(f) = 1/ \Pi \frac{(exp(2 a \Pi) - 1) a}{a^2+n^2} \\ b_n(f) = 1/ \Pi \frac{(exp(2 a \Pi) - 1) (-n)}{a^2+n^2}

donc la série de Fourier est :
S_n(f)(x) = (exp(2a \Pi)-1)/(2a \Pi) + \sum_{n=1}^{N}{1/ \Pi \frac{(exp(2a \Pi) - 1) a}{a^2+n^2} cos(n x) + 1/ \Pi \frac{(exp(2a \Pi) - 1) (-n)}{a^2+n^2} sin(n x)}

Ensuite, en utilisant Dirichlet et le fait que 1/2(f(x+)+f(x-)) = f(x) sur [0,2Pi[ on en déduit que
avec a_0(f) =(exp(2a \Pi)-1)/(2a \Pi) \\ f(x) = S_n(f)(x) = (exp(2a \Pi)-1)/(2a \Pi) + \sum_{n=1}^{+\infty}{1\ \Pi \frac{(exp(2a \Pi) - 1) a}{a^2+n^2} cos(n x) + 1/ \Pi \frac{(exp(2a \Pi) - 1) (-n)}{a^2+n^2} sin(n x)}

Ensuite, je pense qu'il faut poser quelque chose pour x mais je ne vois pas quoi. A moins que mes intégrales soient fausses. Pourriez-vous m'aider svp ?
Merci

Posté par
raymond Correcteursérie de Fourier 15-03-07 à 18:20

Bonjour.

Pour obtenir le premier résultat, remplace x par 0 dans la série en écrivant que le résultat est égal à :

2$\textrm\frac{1}{2}(f(0) + f(2\pi))

Pour la seconde, remplace a par 1 dans ton résultat.

A plus RR.

Posté par
HighSchool2005re : série de Fourier 15-03-07 à 18:45

Voici ce que j'obtiens en laissant a:

\frac{a \Pi + 1 + a \Pi exp(2a \Pi) - exp(2a \Pi)}{2a(exp(2a \Pi)-1)}

Pas très simple tout ça
En remplaçant a par 1, ben, je vois pas comment simplifier. Bref, j'ai la sensation que c'est faux. Je débute en série de Fourier.

On a bien 1/2 (f(0)+f(2 \Pi)) = 1/2 (1 + exp(2a \Pi)) ?
Mais on a aussi, je crois, f(0)=f(2 \Pi) car f est périodique. Donc je voulais peut-être remplacer mes exp(2a \Pi) par 1 car exp(2a \Pi)=f(2 \Pi)=f(0)=exp(0)=1 mais dans ce cas, on obtient un numérateur nul pour la suite qu'on doit trouver ce qui ne va pas.

Posté par
raymond Correcteurre : série de Fourier 16-03-07 à 00:29

Bonsoir.

Je trouve :

3$\textrm f(0) = \frac{1+e^{2a\pi}}{2} = \frac{e^{2a\pi}-1}{2a\pi} + \frac{e^{2a\pi}-1}{\pi}\Bigsum_{n\ge 1}\frac{a}{a^2+n^2}.

J'en déduis que :

3$\textrm\Bigsum_{n\ge 1}\frac{a}{a^2+n^2} = \frac{\pi}{2}.\frac{e^{2a\pi}+1}{e^{2a\pi}-1} - \frac{1}{2a}.

Enfin, pour a = 1 :

3$\textrm\Bigsum_{n\ge 1}\frac{1}{n^2+1} = \frac{\pi}{2}.\frac{e^{2\pi}+1}{e^{2\pi}-1} - \frac{1}{2}.

On peut affiner la réponse au moyen de la tangente hyperbolique :

3$\textrm\Bigsum_{n\ge 1}\frac{1}{n^2+1} = \frac{\pi}{2}.\frac{1}{th(\pi)} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\big[\frac{\pi}{th(\pi)} - 1\big].

Naturellement, sous réserve d'erreurs de calcul toujours possibles avec les séries de Fourier.

A plus RR

Posté par
HighSchool2005re : série de Fourier 16-03-07 à 07:24

merci apparemment il n'y a pas d'erreur Je trouve pareil Merci bcp pour ton aide


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