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série de taylor

Posté par
ferenc 19-12-11 à 18:17

Bonjour, parfois dans mes corrigés j'ai par exemple
f(x)=....+o(|x|^\alpha) si x\to 0 et parfois f(x)=....+\mathcal{O}(|x|^\alpha) si x\to 0

comment savoir lorsque je dois trouver la série de taylor d'une fonction savoir si le reste est \mathcal{O}(|x|)^\alpha ou o(|x|)^\alpha ?

merci

Posté par
LeHiboure : série de taylor 19-12-11 à 18:35

Bonjour,

Veux-tu vraiment parler de "séries", qui sont en général infinies, ou plutôt de développements limités ?
Et as-tu bien compris la différence entre les notations (o) et O() ?
Etudie cet article qui t'aidera certainement :

Posté par
ferencre : série de taylor 19-12-11 à 23:09

En effet, je cherche le développement limité !
Je sais que si r(x)=o(|x|^\alpha), alors \lim_{x\to 0}\frac{r(x)}{|x|^\alpha} et si r(x)=\mathcal{O}(|x|^\alpha) alors, \exists C,\delta>0:|x|<\delta\Rightarrow |r(x)|<C|x|^\alpha mais je vous avoue que je ne vois pas en quoi cela m'avance dans mon problème !

Posté par
LeHiboure : série de taylor 19-12-11 à 23:22

Je n'ai pas bien compris ton problème, mais je peux tout de même te dire que si la fonction est suffisamment régulière et si tu arrêtes ton développement au rang n, donc au terme xn, alors le reste est o(|xn|).

Posté par
ferencre : série de taylor 19-12-11 à 23:29

ok très bien, et puisque le reste o(|x|^\alpha) cela implique qu'il est également \mathcal{O}(|x|^\alpha) (puisque o(|x|^\alpha)\Rightarrow\mathcal{O}(|x|^\alpha)
Mais alors pourquoi préférer dire que le reste est \mathcal{O}(|x|^\alpha) plutôt que o(|x|^\alpha) ?
Car dans mes corrigé, j'ai souvent que par exemple:
\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\mathcal{O}(|x|^4), pourquoi ne pas écrire plutôt \cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o(|x|^4) ?

merci

Posté par
LeHiboure : série de taylor 19-12-11 à 23:50

Le reste est O(|x|4) et non o(|x|4), car le premier terme négligé est x4/4!
En revanche, il serait exact de dire qu'il est o(|x|3)

Posté par
ferencre : série de taylor 20-12-11 à 09:03

ok, je crois que je comprend, on pourrait également dire qu'il est o(|x|^2), n'est-ce pas ?

Posté par
ferencre : série de taylor 20-12-11 à 09:08

car en fait, \lim_{x\to 0}\frac{x^4}{4!x^4}=\frac{1}{4!}\neq 0 alors que si 0<\alpha<4, \lim_{x\to 0}\frac{x^4}{k!x^\alpha}=0. Donc du coup je peux dire que c'est o(|x|^2) uniquement parce que le terme \frac{x^2}{2} n'est pas négligé, si c'était le cas, ce serait un \mathcal{O}(|x|^2) c'est bien ça ?

Posté par
LeHiboure : série de taylor 20-12-11 à 09:53

Oui, c'est ça.

Posté par
ferencre : série de taylor 20-12-11 à 09:59

Merci beaucoup LeHibou !!
C'est chouette de votre part

Posté par
LeHiboure : série de taylor 20-12-11 à 10:40

On me l'a déjà faite, celle-la


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