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Série des restes d'une série alternée

Posté par
Emmano 09-09-12 à 14:37

Bonjour,

J'ai un petit problème concernant un exercice sur les séries. Il faut étudier la convergence de la série de terme général u_n = \sum_{k=n}^{+ \infty} \tfrac{(-1)^k}{\sqrt{1+k}}.

J'ai pensé à utiliser le critère sur les séries alternées, en montrant :

- Un tend vers 0 (évident, suite des restes d'une série convergente, puisqu'alternée relevant du critère)
- Un est alternée.

En effet, on a : u_n = \tfrac{(-1)^n}{\sqrt{1+n}} + u_{n+1}, et le critère spécial appliqué à la série de terme général \tfrac{(-1)^k}{\sqrt{1+k}} donne \left | u_{n+1} \right |\leq \tfrac{1}{\sqrt{n+2}}< \tfrac{1}{\sqrt{n+1}}, ce qui donne bien que Un est du signe de (-1)^n.

Mais je n'arrive pas à montrer que \left | u_{n} \right | est décroissante, ce qui me permettrait de conclure que cette série converge.


J'ai peut être pris la mauvaise direction... Qu'en pensez-vous ?



Merci d'avance pour vos réponses !

Posté par
lolo271re : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 14:47

Bonjour,

si tu regroupes les termes 2 par 2 , tu as directement une somme de termes positifs (le tout fois le signe) qui décroissent (pas fait le calcul mais ça doit marcher)

Posté par
Emmanore : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 15:06

Merci pour la réponse rapide.

J'avais essayé cette possibilité. En regroupant les termes 2 par 2, on obtient du 2u_n + \frac{1}{\sqrt{n+2}} dont on ne connaît pas le signe...

Posté par
lolo271re : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 15:12

ce n'est pas ce que je voulais dire :

1/\sqrt{k+1}  - 1 /\sqrt{k+2}  tu réduis et tu vois que ça décroît

Posté par
Emmanore : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 15:16

Euh... je crois qu'on ne parle pas de la même série...

En fait, je dois étudier la série de terme général "les restes de la série des \frac{(-1)^k}{\sqrt{1+k}}", et non pas la série des \frac{(-1)^k}{\sqrt{1+k}}...

Où alors je ne comprends pas ce que vous m'expliquez

Posté par
lolo271re : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 15:18

tu veux montrer la décroissante du module.  Donc dans u(n)  tu regroupes pour CHAQUE k  comme indiqué à 15h12

il est clair que u(n+1)  (sauf le signe) c'est les mêmes termes décalés d'un cran)

Posté par
Emmanore : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 15:46

Désolé mais je ne m'en sors pas...

J'écris :

\left | u_n \right | = \left | \sum_{k=n}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \right | \\ \\ = \frac{1}{2}\left | \sum_{k=n}^{\infty} (\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} - \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+2}}) + \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}\right |

Ce qui me donne :

\left | u_n \right | = \frac{1}{2} \left | \sum_{k=n}^{\infty} (-1)^k\frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}}{\sqrt{(k+2)(k+1)}} + \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1}} \right |

Je n'arrive pas à conclure......

Posté par
lolo271re : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 15:54

mais non il n'y a pas 3 termes mais 2 .

Posté par
Emmanore : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 15:56

le 3ème terme n'est pas inclus dans la sommation... Il est juste là pour compenser ce qui manque dans la sommation (ou alors je me trompe ?)

Mais même sans le 3ème terme, pourquoi cette somme serait-elle décroissante ?

Posté par
lolo271re : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 15:57

Bon   u(n) = (-1)n  (    1/\sqrt{n+1} - 1/\sqrt{n+2}   + 1/\sqrt{n+3}  - 1/\sqrt{n+4} ......)


donc son module c'est la somme à partir de k= n  des      [/sup]1/\sqrt{k+1} - 1/\sqrt{k+2}   = f(k)  décroissante

Posté par
lolo271re : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 15:58

tu réduis  f(k) au même dénominateur et tu multiplies par l'expression conjuguée

Posté par
Emmanore : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 15:59

oulla, je suis parti chercher loin^^

Ok merci beaucoup, désolé pour mon incompréhension

Posté par
Emmanore : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 16:01

Y'a meme pas besoin de réduire... c'est téléscopique...

Posté par
lolo271re : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 16:11

que veux -tu dire par télescopique ?  il n'y a que des termes >0 donc à priori pas de simplification.

Posté par
Emmanore : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 16:31

on somme les 1/rac(k+1) - 1/rac(k+2) de k=n à l'infini... ça fait : 1/rac(n+1)

Posté par
lolo271re : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 16:32

non

Posté par
Emmanore : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 16:35

Mmh... je ne vois pas pourquoi...

Si je somme de k=n à m, ça fait : 1/rac(n+1) - 1/rac(m+2), si on fait tendre m vers l'infini, ça donne 1/rac(n+1)

où est l'erreur ?

Posté par
Emmanore : Série des restes d'une série alternée 09-09-12 à 16:42

euh... ok, je dis n'importe quoi... C'est bon, je vois l'erreur, merci


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