" 1/ je veux montrer en fait qu'il existe une unique série entière [a_nx^n] dont la somme f(x) est solution de l'équa diff y''+y=0 et vérifie f(0)=1 f'(0)=0 "
Supposons qu'il existe une (ou des) série(s) satisfaisant ces conditions.
y(x) = Sigma [a_nx^n]
y''(x) = Sigma [n(n-1)a_nx^(n-2)]
y'' = -y donc a_n = -(n+2)(n+1)a_(n+2)
a_(n+2) = -(a_n)/((n+2)(n+1))
a_2 = -(a_0)/2
a_4 = -(a_2)/(4*3) = +(a_0)/(4*3*2) = +(a_0)/4!
etc. a_2k = ((-1)^(k))*(a_0)/(2k)!
a_3 = -(a_1)/(3*2)
a_5 = -(a_3)/(5*4) = +(a_1)/(5*4*3*2) = +(a_1)/5!
etc. a_(2k+1) = ((-1)^k)*(a_1)/(2k+1)!
f(0) = a_0 = 1
donc a_2k = ((-1)^(k))/(2k)!
f'(0) = a_1 = 0
donc a_(2k+1) = ((-1)^k)*0/(2k+1)! = 0
Tous les coefficients a_n sont déterminés, donc au moins une série existe et ils ont respectivement une valeur unique, donc la série est unique :
y(x) = Sigma [((-1)^(k))*(x^(2k))/(2k)!]
Pour être complet, il faudrait montrer que la série est convergente. Mais cela n'est probablement pas demandé.

salut ,
et merci d'avoir répondu ..

mais il y a un truc qui m'échappe là, c'est que je ne comprends pas l'implication  y''=-y implique a_n = -(n+2)(n+1)a_(n+2)
si tu pourrais m'expliquer d'avantage stp ?

Merci d'avance .

oula .. ! pardon je vois , (changement d'indice)
je suis mal réveillée aujourd'hui ..
merci beaucoup ;

re ..
je ne sais pas si je suis toujours mal réveillée .. mais pourquoi on n'as pas utilisé l'hypothése f'(0) et f(0) .. ?

bonjour,
tu as deux formules de récurrence donnant les coefficients:
pour n=2k         a_2k+2=-a_2k/(2k+2)(2k+1)
     n=2k-1       a_2k+1=-a_2k-1/(2k+1)(2k)

comme a₀=f(0) est connu on connait de proche en proche tous les a_2k
comme a₁=f'(0) est connu on connait tous les a_2k+1

donc on utilise bien les hypothéses

Ok D'accord,
C'est bien gentil Merci ..