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serie entiere

Posté par gouari (invité) 15-12-06 à 20:10

salut a tous !
j'aimerai calculer le disque de convergence de la serie entiere suivante :
                 tan(n/7)x^n
merci d'avance

Posté par gouari (invité)re : serie entiere 15-12-06 à 20:11

pardon
la question est de calculer le rayon de convergence.

Posté par
disdrometrere : serie entiere 15-12-06 à 23:12

bonsoir,

la suite  un=tan(npi/7)  est périodique  de prériode 14  u(14+n)=un

donc S=somme(n=0,+oo) un x^n = somme(k=0;13) (somme(n=0,+oo) u(k)x^(n+k))

or S(k)=somme(n=0,+oo) u(k)x^(n+k) = u(k)somme(n=0,+oo) x^(n+k)

S(k) a comme rayon de convergence 1.

D.

Posté par
Cauchyre : serie entiere 16-12-06 à 01:06

Bonsoir,

tan(npi/7) est bornée donc R>=1 et tan(npi/7) ne converge pas donc somme(tan(npi/7)) diverge donc R=1.

Posté par
Roulianere : serie entiere 16-12-06 à 01:26

bornée ?

Posté par
Cauchyre : serie entiere 16-12-06 à 01:30

Oui car périodique a moins que je délire à ces heures tardives

Posté par
Cauchyre : serie entiere 17-12-06 à 00:05

Bonsoir,

si je note 3$ S=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \,\,\,\rm{avec a_n=tan(\frac{n\pi}{7})} alors on a:

3$a_{n+7}=a_n   donc

3$ S=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+7} x^n= \sum_{m \geq 7} a_m x^{m-7}=\frac{1}{x^7}\sum_{m \geq 7} a_m x^{m}=\frac{1}{x^7}\left(S-\sum_{k=0}^{6}a_k x^k\right). d'ou:

3$ S\left(\frac{x^7-1}{x^7}\right)=\frac{1}{x^7}\left(-\sum_{k=0}^{6}a_kx^k\right)

soit:

3$ \hspace{20mm}{\red{\fbox{S=\frac{\bigsum_{k=0}^{6} a_k x^k}{1-x^7}}}}


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