bonjour ou bonsoir[
voila j'ai un probleme en mathematiques notament sur les series entieres
il est donne f(x)=[x+(1+x)^1/2]^p  on demande de montrer que f verifie une equation differentielle lineaire d'ordre 2 et d'en deduire le developpement en serie entiere de f. voici ce que j'ai fait:
f'(x)=p[1+(1/2)(1+x)^-1/2][x+(1+x)^1/2]^p
f"(x)=-(1/4)p[(1+x)^-1/2][x+(1+x)^1/2]^p-1
+p(p-1){[1+(1/2)(1+x)^-1/2]^2}[x+(1+x)^1/2]^p-2
on remarque que
[1+(1+x)^1/2]^p-1=f(x):[x+(1+x)^1/2]
et[1+(1/2)(1+x)^-1/2][x+(1+x)^1/2]^p-2=f'(x):p[x+(1+x)^1/2]
en femplaçant donc dans f"(x) on obtient finalement
f"(x)=-(1/4)[(1+x)^-1/2)]f(x):[x+(1+x)^1/2]
+(p-1)[1+(1/2)(1+x)^-1/2]f'(x):[x+(1+x)^1/2]
l'equation differentielle verifiee par f est donc
[x+(1+X)^1/2]f"(x)-(p-1)[1+(1/2)(1+x)^-1/2]f'(x)
+(1/4)p[(1+x)^-1/2]f(x)=0 (*)
maintenant si je pose f(x)=a(n)x^n
on aura f'(x)=na(n)x^n-1 et
f"(x)=n(n-1)a(n)x(n-2)
en remplaçant f, f' et f" dans (*) je n'arrive pas a regrouper les differents a(n) compte tenu du fait que j'ai des racines carrees de (1+x) et leurs inverses en produits de f,f'et f".s'ilvous plait comment fait-on pour resourdre ce genre d'equation differentielle?